Inverso de $2 \times 2$ matrices de bloques

Question

Dejemos que las matrices $A, B, C, D$ sea invertible. ¿Cómo puedo encontrar la inversa de la siguiente matriz de bloques?

$$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}$$

Gracias.

Answer 1

Como $D$ es invertible, la matriz de bloques es invertible si y sólo si la Complemento de Schur de $D$ --- es decir, la matriz $S=A-BD^{-1}C$ --- es invertible. En ese caso, puedes consultar en Wikipedia la fórmula de inversión de la matriz de bloques.

Answer 2

No es necesariamente invertible en absoluto -- ciertamente no si, por ejemplo, $A=B$ y $C=D$ .

A la inversa, la matriz de bloques puede ser invertible aunque ninguno de los bloques lo sea. En casos como $$ \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&0&0\\0&0&0&1\\ \hline 0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right] \quad\text{or}\quad \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&0&1\\0&2&1&0\\ \hline 0&2&2&0\\2&0&0&1\end{array}\right] $$ incluso puede tener $AD-BC=0$ por lo que intentar extender los métodos basados en determinantes a las matrices en bloque parece estar condenado al fracaso.