Números irracionales y formas de representarlos todos

Question

Acabo de empezar a estudiar "Análisis" y parece que uno de los primeros temas por los que pasan todos los libros de texto, es hacer entender al lector que hay "huecos" en Q. Por lo tanto, necesitamos números que sean irracionales para rellenar los huecos. Y esos números son los que no podemos expresar en $\frac{p}{q}$ donde p y q son números enteros.

Sin embargo, parece que la "construcción" de los números irracionales parece impar. Aparte de la mayoría de $\sqrt[n]{a}$ , $\log_a[b]$ y algunos otros números que fueron "enseñados" como irracionales, como $\pi$ y $e$ No parece que tengamos buenas "herramientas" para describir los números irracionales, (es decir, para pasar de los números racionales a los irracionales).

Por ejemplo, no estoy seguro de poder llegar a todos los números irracionales mediante la expresión $\sqrt[n]{a}$ y elegir cualquier $n,a \in N$ o incluso elegir cualquier $n,a \in Q$ . Seguramente no, o habríamos aprendido $\pi$ equivale a alguna forma de esto en la escuela secundaria. Ni siquiera estoy seguro de que cualquier suma de la expresión $\sqrt[a_1]{b_1} + \sqrt[a_2]{b_1} + ... $ puede utilizarse para describir todos los números irracionales. De nuevo, no parece probable. (Por favor, dígame si estoy en lo cierto o no).

Así que en este caso, aunque hemos llenado el "hueco" definiendo un "negativo", es decir, todo lo que no es racional es irracional, pero seguimos teniendo problemas para "describir" fácilmente todos estos números.

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma de describir todos los números irracionales mediante operaciones con números racionales? Si no es así, ¿se debe a una limitación de las operaciones comúnmente "definidas"? De nuevo, si no es así, ¿por qué no interesa a los matemáticos?

Answer 1

Buena pregunta.

Sin embargo, parece que la "construcción" de los números irracionales parece impar.

Bueno, no "construimos" los números irracionales. Construimos los racionales y descubrimos que es totalmente inadecuado. Si asumimos que los números se encuentran en un continuo, entonces, aunque podamos ser infinitamente precisos con los números racionales, nunca podremos obtener un continuo sólido. Así que no construimos los irracionales, sólo sabemos que tienen que estar ahí porque los racionales no son suficientes.

No estoy seguro de poder llegar a todo número irracional mediante la expresión a--√n y eligiendo cualquier n,a∈N, o incluso eligiendo cualquier n,a∈Q.

Tienes razón. No podemos. Tal número es una solución de un polinomio $a_nx^2 + ..... + a_1x + a_0 =0$ donde $a_i$ son coeficientes racionales. Estos se denominan números algebraicos . Estos números no son todos racionales (de hecho, la mayoría no lo son), pero como sólo hay un número infinito de polinomios y un número finito de soluciones por polinomio, sólo hay un número infinito de números algebraicos. $\pi$ no es una solución de ningún polinomio (con coeficientes racionales) y por tanto no es algebraico. Llamamos a estos números transcendental y hay un contablemente muchos de ellos.

¿Existe una forma de describir todos los números irracionales mediante operaciones con números racionales?

La verdad es que no.

Si no es así, ¿se debe a una limitación de las operaciones comúnmente "definidas"?

Yo diría que tiene más que ver con las limitaciones de la contabilidad. Todo lo que hagamos mediante iteraciones finitas alcanzará algunos puntos contables, pero si creemos que los números son un continuo, entonces ninguna de esas iteraciones finitas cubrirá todos los puntos en una transición sólida totalmente suave.

De nuevo, si no es así, ¿por qué no interesa a los matemáticos?

Esto es de intenso y extremo ¡interés para los matemáticos!

Answer 2

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma de describir todos los números irracionales mediante operaciones con números racionales?

Para casi cualquier definición razonable de "operación", la respuesta es no. Esto se debe a que tenemos que describir las operaciones utilizando cadenas en un lenguaje matemático que sólo tiene un número finito de símbolos, por lo que hay un número contable de cadenas, pero un número incontable de números reales por Teorema de Cantor por lo que ninguna de estas descripciones puede abarcar todos los números reales.

Por ejemplo, si sus operaciones incluyen la extracción de raíces de polinomios con coeficientes racionales, sólo puede obtener el números algebraicos , faltando el números trascendentales como $\pi$ o $e$ . Si se permite cualquier operación computable se obtiene un conjunto mucho mayor, el números computables , que sigue siendo contable y, por tanto, sigue sin incluir casi todos los números reales. Se puede ir aún más lejos a la números definibles pero estos se difícil de razonar .

Esto entra en un terreno filosófico muy profundo: si es imposible nombrar explícitamente casi cualquier número real, entonces ¿en qué sentido la mayoría de los números reales "existen realmente"? En mi opinión, los matemáticos no tienen una buena respuesta consensuada a esta pregunta, aunque es discutible. Como mínimo, creo que los libros de texto sobre análisis real no hacen un buen trabajo enfatizando a los estudiantes el enorme salto filosófico que supone creer que "todos" los números reales, tal y como se construyen, por ejemplo, mediante secuencias de Cauchy o cortes de Dedekind, "existen realmente".

Algunos matemáticos responden que la mayoría de estos números reales no "existen realmente"; véase, por ejemplo, constructivismo como palabra clave.

Answer 3

Decimos que la secuencia $(u_n)$ es una secuencia de Cauchy si $$ \forall\varepsilon>0,\exists n_0\in\mathbb{N},\forall p,q\geqslant n_0,|u_p-u_q|<\varepsilon $$ Se puede demostrar que $(u_n)$ es una secuencia de Cauchy si converge en $\mathbb{R}$ definimos la relación de equivalencia $\mathcal{R}$ en $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ por $$(u_n)\mathcal{R}(v_n)\iff \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(u_n-v_n)=0$$ donde la definición de límite es en el sentido de ser una secuencia de Cauchy (nótese que en la definición podemos restringirnos con $\varepsilon\in\mathbb{Q}^{+*}$ desde $\mathbb{R}$ es arquimédico). Podemos entonces definir $\mathbb{R}$ como el conjunto de todas las clases de equivalencia de $\mathcal{R}$ .

Answer 4

No es exactamente una operación, pero hay dos formas tradicionales de definir los números reales en términos de los racionales para rellenar los "huecos". Tuvasbien mencionó las secuencias de Cauchy en su respuesta mientras yo escribía esto, así que abordaré la otra.

El otro son los cortes Dedekind. Se trata de los subconjuntos esencialmente $A\subset \mathbb Q$ con las siguientes propiedades:

• $A\neq\emptyset$
• $A\neq\mathbb Q$
• Si $x\in A$ y $y<x$ entonces $y\in A$
• Si $x\in A$ , entonces hay un $y\in A$ tal que $y>x$

Un ejemplo de este conjunto es el conjunto de todos los racionales no positivos y todos los racionales positivos cuyo cuadrado es menor que $2$ . En pocas palabras, resulta que podemos definir la suma y la multiplicación y el orden en cortes Dedekind que coinciden con los racionales pero también definir nuevos números como ese ejemplo (que llamamos $\sqrt2$ ).

Answer 5

Si se acepta que todos los números reales tienen una o dos expansiones decimales infinitas (algunos números tienen dos expansiones procedentes de $0.9999\ldots=1.0000\ldots$ ), y que cada expansión decimal infinita representa exactamente un número real, entonces se puede decir que los números racionales tienen una expansión que termina periódicamente, como $4.7235353535\ldots$ y los números irracionales tienen una expansión que no se vuelve periódica. Esto, por supuesto, es cierto para cualquier base numérica $b\geq2$ .