¿Existe un término diferente para la "representación regular de la izquierda" de las categorías?

Question

Después de pensarlo, vi el lema de Yoneda, que inicialmente parecía ser lo mismo,
pero un examen más cuidadoso me convenció de que el lema de Yoneda es significativamente diferente.

Sean los morfismos a y los morfismos de dados por

morfismos a( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}$ ) es la clase de todos los morfismos a $A$ en $\mathcal{C}$
y
morfismosde( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}$ ) es la clase de todos los morfismos de $A$ en $\mathcal{C}$

para las categorías $\mathcal{C}$ y los objetos A de $\mathcal{C}$ .

Para cualquier categoría $\mathcal{C}$ se puede formar la "clase-categoría" $\operatorname{L}\hspace{-0.03 in}\operatorname{R}(\mathcal{C}\hspace{.02 in})$ cuyos objetos son
$\{\hspace{-0.03 in}$ morfismos a( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}) : A\in \mathcal{C}\} \:$ y cuyos morfismos de $\: \{\hspace{-0.03 in}$ morfismos a( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}) : A\in \mathcal{C}\} \:$ a
$\{\hspace{-0.03 in}$ morfismos a( $B$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}) : B\in \mathcal{C}\} \:$ son las funciones de clase $\;\;\; g \: \mapsto \: f\hspace{-0.05 in}\circ \hspace{-0.04 in}g \;\;\;$ para los morfismos $\hspace{.04 in}f$ de $A$ a $B$ .
A menos que me esté perdiendo algo aquí, uno puede entonces definir un functor fiel $\mathcal{F}\hspace{.02 in}$ de $\mathcal{C}$ a $\operatorname{L}\hspace{-0.03 in}\operatorname{R}(\mathcal{C}\hspace{.02 in})$
por $\;\;\; \mathcal{F}\hspace{.02 in}(A) \: = \: \{\hspace{-0.03 in}$ morfismos a( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}) : A\in \mathcal{C}\} \;\;\;$ y $\;\;\; (\mathcal{F}\hspace{.02 in}(\hspace{.05 in}f : A\to B))(\hspace{.02 in}g) \: = \: f\hspace{-0.05 in}\circ \hspace{-0.04 in}g \;\;\;$ , $\;\;\;$ y que
$\mathcal{F}\hspace{.02 in}$ es tal que para todos los morfismos $\hspace{.04 in}f\hspace{-0.03 in}$ en $\mathcal{C}$ , $\hspace{.04 in}f$ es un monomorfismo si y sólo si $\hspace{.02 in}\mathcal{F}\hspace{.02 in}(\hspace{.05 in}f\hspace{.03 in})$ es inyectiva.

Por analogía con grupos y anillos y álgebras Me imaginaba que la construcción
se llamará la representación regular de la izquierda. $\:$ Sin embargo, la búsqueda con google no
aparezca cualquier uso de la frase "izquierda-regular" en cualquier contexto como el que estoy hablando.

Soy muy consciente de que $\operatorname{L}\hspace{-0.03 in}\operatorname{R}(\mathcal{C}\hspace{.02 in})$ puede tener objetos y morfismos que son clases propias
incluso si $\mathcal{C}$ es localmente pequeño . $\:$ ¿Hay alguna otros ¿problemas con mi (intento de) construcción?
¿Tiene mi (intento de) construcción un nombre?

Si mi construcción funciona, entonces en los casos en que las clases morfismos a( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}$ ) no son necesariamente conjuntos sino las clases morfismosde( $A$ , $\mathcal{C}\hspace{.03 in}$ ) son necesariamente conjuntos, se pueden obtener objetos conjuntos aplicando la construcción a la categoría opuesta y luego utilizando esta respuesta aunque no he averiguado si eso daría también el "monomorfismo si y sólo si". $\hspace{.02 in}\mathcal{F}\hspace{.02 in}(\hspace{.05 in}f\hspace{.03 in})$ es inyectiva".

Answer 1

Bien, aquí hay una versión de esta construcción que tiene sentido para mí. Dejemos que $C$ sea una categoría pequeña. Existe un functor $C \to \text{Set}$ que toma un objeto $c \in C$ a la unión disjunta $\coprod_{d \in C} \text{Hom}(d, c)$ y que toma un morfismo $f : c \to c'$ al morfismo inducido

$$\coprod_{d \in C} \text{Hom}(d, c) \to \coprod_{d \in C} \text{Hom}(d, c').$$

Esta es la composición de la incrustación de Yoneda $C \to [C^{op}, \text{Set}]$ con el functor coproducto $[C^{op}, \text{Set}] \to \text{Set}$ . El lema de Yoneda implica que es fiel, de lo que se deduce que toda categoría pequeña es concretizable .

No conozco un nombre para este functor. Una forma en la que es peor que la incrustación de Yoneda es que no es completa.

Answer 2

Freyd y Scedrov llaman a esta construcción (vista como un functor $\mathcal{C} \to \text{Set}$ como en la respuesta de Qiaochu Yuan) el Representación de Cayley en su libro Categorías, Alegorías . Lo utilizan para demostrar el teorema de completitud:

Toda sentencia elemental universalmente cuantificada en los predicados de la teoría de las categorías, verdadera para la categoría de conjuntos, es verdadera para todas las categorías.

Esta construcción apareció por primera vez en el Apéndice del documento de Eilenberg-MacLane Teoría general de las equivalencias naturales donde se observa que es un análogo de la representación regular izquierda.