Si un subgrupo tiene intersección finita con una vecindad compacta de $1$ ¿entonces es discreto?

Question

En la página 79 de Teoría básica de los números por André Weil , existe un argumento que demuestra que un subgrupo de un grupo topológico es discreto,

porque hay una vecindad compacta de $1$ con intersección finita con ese subgrupo $\Gamma$ .

Así que me pregunto cómo se demuestra lo siguiente:

Si un subgrupo de un grupo topológico de Hausdorff tiene intersección finita con una vecindad compacta de $1$ entonces es discreto.

Dado que uno ha visto antes la afirmación de que un subconjunto discreto de un conjunto compacto es finito, creo que, en este libro, por discreto uno entiende discreto cerrado .
Ahora, sabemos que este subconjunto $\Gamma$ tiene una intersección discreta con una vecindad compacta. Pero ¿cómo podría este hecho ayudarnos a mostrar la discreción del subconjunto entero $\Gamma$ ? Aquí es donde estoy atascado.
Cualquier pista es bien apreciada.

Answer 1

Permítanme juntar los comentarios de Alex Youcis para ver si entiendo bien.
En primer lugar, sólo necesitamos encontrar una vecindad de $1$ que no contiene ningún otro elemento de $\Gamma$ ya que estamos trabajando con un grupo topológico.
Entonces utilizamos la Hausdorff-ness del grupo para encontrar vecindades $U_i$ de $1$ tal que $x_i\not\in U_i \forall x_i\in\Gamma\cap V, x_i\not=1,$ donde $V$ es el barrio en cuestión. Y la vecindad deseada es simplemente $\bigcap U_i\cap V,$ un (número de ) intersección(es) finito(s) por supuesto.
La mayoría de las veces, las indicaciones de errores son bienvenidas.

Answer 2

Los comentarios de Alex, convertidos en respuesta por el OP, son efectivamente correctos.

Permítanme señalar que la condición de Hausdorff es realmente la clave aquí. Por ejemplo, dejemos que $G$ sea cualquier grupo que admita un subgrupo finito no trivial $H$ . Dotar $G$ con el indiscreto topología (en la que los únicos subconjuntos abiertos son $\varnothing$ y $G$ ): esto hace que $G$ en un grupo topológico no Hausdorff. Pero la conclusión deseada falla: $G$ es una vecindad compacta de la identidad que tiene intersección finita con el subgrupo $H$ y $H$ no es discreto (más bien es indiscreto).