Expansión del binomio: ¿qué ha fallado?

Question

Cuando aplicamos la expansión binomial $(1+z)^\alpha = \sum \dbinom{\alpha}{n} z^n$ para $z \in \mathbb{C}$ con $|z|<1$ tenemos:

Si $\alpha=-1$ entonces $(1+z)^{-1} = \sum \dbinom{-1}{n} z^n$ . Por otro lado $(1+z)^{-1} = (1-(-z))^{-1} = \sum (-1)^n z^n$ .

Pero las expansiones de Taylor sobre $0$ son únicas, y es evidente que éstas coinciden ¿Qué ha fallado?

Answer 1

Nada salió mal porque tenemos

$${ -1 \choose n } = \frac{(-1)(-2)\cdots(-n)}{n!} = \frac{(-1)^n n!}{n!}= (-1)^n.$$