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Natural isomorphisms y el axioma de elección

Las definiciones de "transformación natural", "natural isomorfismo entre functors", y "natural isomorfismo entre los objetos" captura - entre otras cosas - la idea intuitiva de "un isomorfismo, que no depende de una elección arbitraria" (de Wikipedia). El ejemplo estándar es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$ siendo naturalmente isomorfo a su doble doble de la $V$** debido a que el isomorfismo no depende de la elección de la base.

Lo que me pregunto:

¿Esto informal de la noción de elección que tenemos que hacer con la noción de elección en el axioma de elección?

Es un "ser natural isomorfo" de alguna manera relacionados con el "ser demostrablemente isomorfo de $ZF$ sin $AC$"?

O son estas completamente ajenos conceptos?

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Drealmer Puntos 2284

"Connaturalidad" en un sentido categórico es mucho más que "no en función de decisiones", y, también, es esencialmente ajenos a las cuestiones sobre el Axioma de Elección.

En el ejemplo de espacios vectoriales sobre un campo, podemos observar en la categoría de _finite_dimensional_ espacios vectoriales, para evitar preocuparse por el uso de AxCh encontrar los elementos del dual. El no connaturalidad de cualquier isomorphisms de finito-dimensional vectorspaces con sus duales reside en el hecho de que, seguramente, como un no-ejercicio intenso, no hay ninguna colección de isomorphisms $\phi_V:V\rightarrow V^*$ de isomorphisms de f.d. v. s.'s $V$ a sus duales, compatible con todos los v. s. homs $f:V\rightarrow W$.

En contraste, el isomorfismo $\phi_V:V\rightarrow V^{**}$ a la segunda dual, por $\phi_V(v)(\lambda)=\lambda(v)$ es compatible con todos los homs, como una fácil exericise! Este último compatibilidad es el grave significado de "connaturalidad".

Cierto, si caprichosa o aleatoria opciones de jugar un papel, la probabilidad de que el resultado es natural en este sentido es, sin duda disminuido! Pero ese aspecto no es la definición de la propiedad!

Editar (16 Abr '12): como alancalvitti notas, la ubicuidad de adjunctions, y la connaturalidad y el sentido de la "connaturalidad", y contra-ejemplos ingenuas representaciones, que merecen un tratamiento más amplio en introductorio niveles. Después de todo, esto se puede hacer con casi nada serio "formal" de la categoría de la teoría de la sobrecarga, y paga maravilloso devuelve, al menos, de organizar el pensamiento. Distinguir la "caracterización" de "construcción-para-probar-existencia" está relacionado. E. g., "¿Por qué es el producto de la topología de tan grosero?": para decir que "la definición" es ineficiente; a tomar la definición categórica de "producto" y _find_out_ lo que la topología en el producto cartesiano de los conjuntos es de la categoría de producto de la topología es un no-poder, ejercicio interesante! :)

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DanV Puntos 281

Esto está lejos de una respuesta completa, sino más bien un comentario sobre los mapas y el axioma de elección.

Es posible sin el axioma de elección para tener un espacio vectorial que no es finitely generado y isomorfo a su doble doble de la $[1]$ (podemos encontrar que son isomorfos a su primera doble, y podemos encontrar a aquellos que no son isomorfos a su primera doble pero todavía isomorfo a la segunda dual).

Si usted piensa acerca de ella, asumiendo el axioma de elección, el mapa siempre es inyectiva. Este no es el caso, sin el axioma de elección. Es posible que no sea trivial espacios vectoriales que tienen los no-cero funcionales, por lo que el natural mapa está constantemente cero $[2,3]$.

Por lo que el axioma de elección, en realidad juega un papel importante en la restricción de la clase de los espacios vectoriales que son naturalmente isomorfo a su doble duales (el axioma de elección da, y el axioma de elección la quita).

Leer más (MathOverflow):

  1. ¿El hecho de que este espacio vectorial no es isomorfo a su doble-doble requieren de elección?
  2. ¿Cuál es un ejemplo de un espacio que necesita el de Hahn-Banach Teorema?
  3. Es la no trivialidad de la algebraicas dual de un infinito-dimensional espacio vectorial equivalente al axioma de elección?

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Joel Cohen Puntos 5508

La categórica significado de "natural" significa que su definición es "invariante por morfismos" (por ejemplo, un cambio de coordenadas en espacios vectoriales). Esta es una gran propiedad que implica la definición es de alguna manera canónica, pero no necesariamente obvias.

Aunque usar el axioma de elección es probable que conduzca a la no-naturales construcciones, no todos los no-naturales construcciones de uso de este axioma, aunque puede haber algunas "elección" que participan en la definición ("elección" en el sentido coloquial no siempre implica el uso real de los axiomas). Por ejemplo, para incorporar cualquier espacio vectorial dual en su, usted necesita una base (y por lo tanto el axioma de elección). Pero para hacer eso, para un finito-dimensional espacio vectorial, el axioma de elección no es necesario. La construcción nunca es natural.

Por último, puede muy bien ocurrir que una construcción utilizando el axioma de elección resulta ser natural (admito que no sé de ningún ejemplo).

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Respuesta corta: La definición formal de "isomorfismo natural" es totalmente ajena a cualquier noción de la elección, y mucho menos el axioma de elección.

Tonto respuesta: No son naturales isomorphisms que dependen de opciones arbitrarias. Por ejemplo, bajo el axioma de la mundial (!) la elección de la categoría de conjuntos es equivalente a la categoría de los cardenales, que es una subcategoría de la categoría de conjuntos. Como tal, cada conjunto es "naturalmente" isomorfo a su cardenal! De hecho, para cada conjunto $X$, arreglar un bijection $\eta_X : X \to \# X$ donde $\# X$ es el cardenal de $X$. (Si $X = \# X$, por simplicidad requerimos $\eta_X = \text{id}_X$. Este dato es suficiente para especificar un functor $\# : \textbf{Set} \to \textbf{Card}$, la cual actúa sobre las flechas $f : X \to Y$$\# f = \eta_Y \circ f \circ {\eta_X}^{-1}$. Deje $U : \textbf{Card} \hookrightarrow \textbf{Set}$ ser la inclusión. A continuación, $\#$ que queda adjunto a $U$ con counit $\eta$, ya que por las obras de construcción $$\begin{matrix} X & \xrightarrow{\eta_X} & \# X \newline {\scriptstyle f} \big \downarrow & & \big\downarrow {\scriptstyle \# f} \newline Y & \xrightarrow{\eta_Y} & \# Y \end{de la matriz}$$ desplazamientos para cada flecha $f : X \to Y$, y, obviamente, tanto functors son plena y fiel. Esto demuestra que $\eta$ es el "natural" isomorfismo buscamos.

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Bill K Puntos 32115

No soy un experto, pero creo que son diferentes. Mi entendimiento es que "isomorfismo natural" siempre ha sido un poco vagamente definido, pero el concepto es bastante intuitivo.

Es un caso donde hay claramente una "mejor" o más simple isomorfismo. Como el Teorema del Resto Chino, tal vez. Cmn ~ Cm x Cn , donde m, n son relativamente primos. Puede haber más de un isomorfismo, pero uno destaca como el más natural, o más evidente, supongo.

Generalmente la "natural" isomorphisms son fácilmente y sin ambigüedades demostrable. Es el reconocimiento de que tal conexión existe que es el verdadero arte. Curiosamente me parece que el axioma de elección mucho más vago (y nunca he sido un fan).

Probablemente estoy lejos...

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