CDF como resultado de un problema de Cauchy: ¿cómo resolverlo?

Question

Estoy estudiando una clase particular de variables aleatorias.

Para encontrar la FCD $F(x)$ de mi variable, debo resolver el siguiente problema de Cauchy:

$$ \begin{cases} F(x)=e^{-\lambda F'(x)} \\ F(0)=0 \end{cases} $$ donde $\lambda>0$ .

He resuelto la EDO, utilizando la forma equivalente

$$logF(x)=-\lambda F'(x)$$

La solución es

$$li^{-1}\Bigl(c-\frac{x}{\lambda}\Bigr)$$

donde $c$ es la constante y $li$ es la función integral logarítmica.

Para encontrar el valor de la constante $c$ He seguido los pasos que se indican a continuación:

$$ F(0)=li^{-1}(c)=\frac{1}{li(c)}=0 \Leftrightarrow li(c)=\infty \Leftrightarrow c=1$$

Por lo tanto, la FCD resultante debería ser

$$F(x)=li^{-1}\Bigl(1-\frac{x}{\lambda}\Bigr)$$

Si trazo la mencionada $F(x)$ no parece un CDF válido.

¿Son correctos mis razonamientos? ¿Hay otra manera de resolver la EDO $F(x)=e^{-\lambda F'(x)}$ ?

Answer 1

Creo que los pasos que quieres son los siguientes:

$$F(0)=li^{-1}(c)$$ $$li(F(0))=c$$ $$li(0)=c$$ $$0=c$$

$F(x)$ para varios valores se puede trazar con Mathematica de la siguiente manera:

plotCDF[_, color_] := ParametricPlot[{- LogIntegral[p], p}, {p, 0, 1},       
  PlotStyle -> color, Frame -> True, PlotLegends -> {" = " <> ToString[]}];
Show[{plotCDF[3, Red], plotCDF[2, Green], plotCDF[1, Blue]},
 PlotRangePadding -> None, AspectRatio -> 1/2, PlotLegends -> Automatic]

Utilizando R se puede evaluar la fdc y la fdp utilizando el pracma paquete:

# Load library
  library(pracma)

# Set lambda
  lambda <- 0.5

# Generate x values based on the cdf
  cdf <- (1:9999)/10000
  x <- -as.numeric(li(p)) * lambda

# Plot of CDF
  plot(x, cdf, type="l", las=1, xlab="x", ylab="", lwd=3, main=paste("lambda =", lambda))

# Add in pdf
  lines(x,-log(p)/lambda)

# Legend
  legend(min(x)+0.75*(max(x)-min(x)),0.8, c("PDF", "CDF"), lwd=c(1,3))

Tanto el Mathematica y el código R evitan el cálculo directo de la inversa de la integral logarítmica (que puede ser problemático).