¿Por qué la incertidumbre es mínima para los estados coherentes?

Question

Mientras leía sobre el oscilador armónico amortiguado cuántico, me encontré con estados coherentes y le pregunté a mi profesor sobre ellos y me dijo que es el estado en el que $\Delta x\Delta y$ es mínimo. No entendí muy bien por qué es mínimo.

¿Por qué ocurre esto?

Answer 1

Los estados que satisfacen $\Delta x\Delta p= \frac{\hbar}{2}$ (es decir, la igualdad estricta en lugar de una desigualdad) se denominan "estados inteligentes". Los estados coherentes son un subconjunto de los estados inteligentes, pero no todos los estados inteligentes son coherentes.

Si asume $\hat A$ y $\hat B$ son hermitianas, y definen, para un estado dado $\vert\psi\rangle$ el operador $$ \Delta \hat A = \hat A - \langle A\rangle $$ entonces $\Delta \hat A$ es de nuevo hermitiana. Definiendo ahora las abreviaturas $$ \vert\psi_A\rangle = \Delta \hat A\vert\psi\rangle \, ,\qquad \vert\psi_B\rangle = \Delta \hat B\vert\psi\rangle $$ se utiliza la desigualdad de Schwarz para demostrar que $$ \langle \psi_A\vert \psi_A\rangle \langle \psi_B\vert \psi_B\rangle \ge \vert \langle \psi_A\vert \psi_B\rangle\vert^2 $$ Para futuras referencias, que \begin{equation} \langle \psi_A \vert \psi_A \rangle\langle \psi_B \vert \psi_B \rangle= \vert\langle \psi_A \vert \psi_B \rangle\vert^2\Rightarrow \vert{\psi_A}\rangle =\mu\,\vert{\psi_B}\rangle\, , \tag{1} \end{equation} es decir la igualdad estricta implica $\vert{\psi_A}\rangle $ es un múltiplo escalar de $\vert{\psi_B}\rangle $ .

Ampliar \begin{eqnarray} \langle \psi_A \vert \psi_B \rangle&=& \langle \psi \vert\Delta \hat A\Delta \hat B\vert \psi \rangle \\ &=&\textstyle\frac{1}{2}\langle \psi \vert(\Delta \hat A\Delta \hat B-\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert{\psi}\rangle +\textstyle{\frac{1}{2}}\langle {\psi}\vert (\Delta \hat A\Delta \hat B+\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert \psi \rangle\, . \tag{2} \end{eqnarray} Se demuestra fácilmente que los dos términos del lado derecho de (2) son no negativos. Si mantenemos sólo el $\textstyle\frac{1}{2}\langle \psi \vert(\Delta \hat A\Delta \hat B-\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert{\psi}\rangle$ obtenemos la desigualdad estándar de Robertson, eventualmente escrita después de alguna reorganización como
$$ \Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\vert \langle \psi\vert [\hat A,\hat B]\vert\psi \rangle\vert $$ Para obtener la igualdad estricta, debemos encontrar adicionalmente estados que satisfagan la Ec.(1) y anulen simultáneamente el segundo término de la Ec.(2), es decir, estados que satisfagan simultáneamente \begin{align} \Delta \hat A\vert\psi\rangle &=\mu \Delta \hat B\vert\psi\rangle\, , \tag{3} \\ \langle {\psi}\vert (\Delta \hat A\Delta \hat B+\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert \psi \rangle&=0\, . \tag{4} \end{align} Utilizando (3) y su conjugado complejo se puede reescribir (4) como $$ 0=\mu^*\langle{\psi}\vert (\Delta \hat B)^2\vert{\psi}\rangle +\mu \langle {\psi}\vert (\Delta\hat B)^2\vert{\psi}\rangle $$ pero, como $\langle{\psi}\vert (\Delta \hat B)^2\vert{\psi}\rangle$ debe ser real, $\mu$ debe ser puramente imaginario, es decir $\mu=i \beta$ con $\beta$ real. Por lo tanto, la condición sobre $\vert\psi\rangle$ es $$ (\hat A-i\beta \hat B)\vert\psi\rangle =\lambda \vert\psi\rangle \, ,\qquad \lambda = \langle A\rangle -i \beta \langle B\rangle\, . $$ Además, también tenemos $$ (\Delta A)^2 =\beta^2 (\Delta B)^2 \tag{5} $$ Tomando $\hat A=\hat x$ y $\hat B=\hat p$ y utilizando $[\Delta \hat x,\Delta \hat p]=i\hat I$ se demuestra entonces que $$ (\Delta p)^2 =-1/(2\beta)\, ,\qquad (\Delta x)^2=-\beta/2\, , $$ lo que implica que $\beta$ es negativo y que $\beta=-\Delta x/\Delta p$ . Los estados inteligentes satisfacen entonces \begin{align} (\hat x-i\beta \hat p)\psi(x)&= (x_0 -i\beta p_0)\psi(x)\, ,\\ &= (x+\beta \frac{d}{dx})\psi(x)\tag{6} \end{align} donde $\langle x\rangle=x_0$ y $ \langle p\rangle=p_0$ .
La solución de (6) es (hasta la normalización) $$ \psi(x)=C^{(x-\langle x\rangle)^2)/(2\beta) - i\langle p\rangle x} \tag{7} $$ El estado coherente es el caso de $\beta=-1$ . Con $\beta=-1$ la solución $\psi(x)$ es entonces sólo una gaussiana centrada en $(x,p)$ en $(x_0,p_0)$ . Este es el estado coherente, que por construcción satisface $\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$ .

Para todos los demás valores $-\infty<\beta <0$ con $\beta\ne -1$ los estados son inteligentes ( $\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$ por construcción) y exprimido ya que, por (5), la incertidumbre en uno de $x$ o $p$ es menor que la incertidumbre en el otro.

Answer 2

Como probablemente sabes, para cualquier partícula el producto de las incertidumbres de la posición, $\Delta x$ y el impulso $\Delta p$ ( no $\delta y$ como usted afirma) está limitada por debajo por una constante positiva; $$\Delta x\, \Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.$$ (Si esto no te suena, tienes que leer sobre El principio de incertidumbre de Heisenberg .) Para los estados generales, el producto de incertidumbre será probablemente bastante mayor que $\hbar$ y para los objetos clásicos será mucho mayor. Sin embargo, si queremos ser muy precisos en una medición, querremos que la partícula tenga mínimo incertidumbre: es decir, querríamos imponer la condición $$\Delta x\, \Delta p=\frac{\hbar}{2}.\tag{1}$$ Los estados que cumplen esta condición se denominan estados coherentes .

Un poco más técnicamente, las soluciones generales de la ecuación (1) se denominan estados coherentes comprimidos esencialmente porque podemos "exprimir" la incertidumbre de $x$ en $p$ o viceversa. Si la partícula está en un potencial armónico-oscilante, entonces podemos elegir una forma única de "dividir" el producto de incertidumbre en partes "mínimas" de posición y momento, $$\Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\;\Delta p=\sqrt{\frac{1}{2}m\omega\hbar },$$ utilizando la información dimensional contenida en $\omega$ y $m$ .