Hay un fallo en alguna parte del siguiente argumento, pero no puedo rastrearlo.
Tomemos un grupo algebraico afín reductor $G$ por definición, su radical unipotente $R_u(G)$ es trivial. Se tiene el siguiente resultado (no trivial) sobre los grupos reductores :
Dejemos que $T$ sea un toro maximal de $G$ . Denote por $(U_\alpha)_{\alpha \in \Phi}$ una enumeración de los mínimos unipotentes cerrados normalizados por $T$ subgrupos de $G$ . Entonces cualquier subgrupo cerrado y conectado $H$ de $G$ que contiene $T$ es generado por $T$ y el $U_\alpha$ que $H$ contiene.
(En realidad, el teorema es mucho más fuerte que eso, pero esta parte es suficiente para mi propósito).
En particular, $G$ es un subgrupo cerrado y conectado de $G$ que contiene $T$ ya que contiene todos los $U_\alpha$ , hay que tener $$ G = \langle T, U_\alpha : \alpha \in \Phi \rangle. $$ Denote $U = \langle U_\alpha : \alpha \in \Phi \rangle$ : este es el subgrupo de todos los elementos unipotentes de $G$ . En particular, $U$ es un subgrupo unipotente de $G$ y es cerrado (incrustación $G$ en algunos $\mathrm{GL}_n$ es el subgrupo de $G$ que satisface la ecuación $(g-1)^n=0$ ). También está conectado como todos los $U_\alpha$ son. Pero también es normal en $G$ : $T$ normaliza todos los $U_\alpha$ , por lo que se normaliza $U$ y $U$ ciertamente se normaliza. Así que al final, $U$ es un subgrupo normal unipotente cerrado de $G$ y por lo tanto debe estar en $R_u(G) = \{1\}$ .
Esto demuestra que todo grupo reductor es un toroide lo cual es ciertamente falso.
Editar. Jack Schmidt lo ha resuelto en los comentarios. En realidad $U$ no es unipotente (y no es el conjunto de todos los elementos unipotentes de $G$ como he dicho) : sólo está generado por elementos unipotentes. El conjunto $G_u$ de todos los elementos unipotentes de $G$ no es necesariamente un grupo, por lo que el producto de elementos unipotentes no es necesariamente unipotente (véase el ejemplo en $SL_2$ de Jack Schmidt en los comentarios).
