Una pregunta sobre la estructura de los grupos reductores.

Question

Hay un fallo en alguna parte del siguiente argumento, pero no puedo rastrearlo.

Tomemos un grupo algebraico afín reductor $G$ por definición, su radical unipotente $R_u(G)$ es trivial. Se tiene el siguiente resultado (no trivial) sobre los grupos reductores :

Dejemos que $T$ sea un toro maximal de $G$ . Denote por $(U_\alpha)_{\alpha \in \Phi}$ una enumeración de los mínimos unipotentes cerrados normalizados por $T$ subgrupos de $G$ . Entonces cualquier subgrupo cerrado y conectado $H$ de $G$ que contiene $T$ es generado por $T$ y el $U_\alpha$ que $H$ contiene.

(En realidad, el teorema es mucho más fuerte que eso, pero esta parte es suficiente para mi propósito).

En particular, $G$ es un subgrupo cerrado y conectado de $G$ que contiene $T$ ya que contiene todos los $U_\alpha$ , hay que tener $$G = \langle T, U_\alpha : \alpha \in \Phi \rangle.$$ Denote $U = \langle U_\alpha : \alpha \in \Phi \rangle$ : este es el subgrupo de todos los elementos unipotentes de $G$ . En particular, $U$ es un subgrupo unipotente de $G$ y es cerrado (incrustación $G$ en algunos $\mathrm{GL}_n$ es el subgrupo de $G$ que satisface la ecuación $(g-1)^n=0$ ). También está conectado como todos los $U_\alpha$ son. Pero también es normal en $G$ : $T$ normaliza todos los $U_\alpha$ , por lo que se normaliza $U$ y $U$ ciertamente se normaliza. Así que al final, $U$ es un subgrupo normal unipotente cerrado de $G$ y por lo tanto debe estar en $R_u(G) = \{1\}$ .

Esto demuestra que todo grupo reductor es un toroide lo cual es ciertamente falso.

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Editar. Jack Schmidt lo ha resuelto en los comentarios. En realidad $U$ no es unipotente (y no es el conjunto de todos los elementos unipotentes de $G$ como he dicho) : sólo está generado por elementos unipotentes. El conjunto $G_u$ de todos los elementos unipotentes de $G$ no es necesariamente un grupo, por lo que el producto de elementos unipotentes no es necesariamente unipotente (véase el ejemplo en $SL_2$ de Jack Schmidt en los comentarios).

Answer 1

El subgrupo generado por dos subgrupos unipotentes no tiene por qué ser a su vez unipotente, ya que el producto de dos elementos unipotentes no tiene por qué ser unipotente.

Por ejemplo, dejemos que $G = \operatorname{SL}_2(K)$ para algún campo $K$ y elija $T=\left\{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 &\lambda^{-1} \end{bmatrix} : \lambda \in K^\times \right\} \cong K^\times$ para ser el toro máximo. Entonces sólo hay dos subgrupos unipotentes cerrados no identitarios de $G$ que están normalizados por $T$ : $$U_1 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : \lambda \in K \right\} \cong K_+, \qquad U_{-1} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{bmatrix} : \lambda \in K \right\} \cong K_+$$

Entonces $$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ tiene un polinomio mínimo $$(x-2)(x-1)-1 = x^2-3x+1 \neq (x-1)^2,$$ por lo que no es unipotente, aunque sea un producto de elementos unipotentes.

En caso de $\operatorname{SL}_2$ en realidad obtenemos una igualdad más sencilla: $G=\langle U_1, U_{-1} \rangle$ . El subgrupo $T$ es redundante en este caso. Sin embargo, para $\operatorname{GL}_2$ es necesario, y también creo que para $\operatorname{PGL}_2$ en muchos campos.