Número de grupos de un orden determinado

Question

En general, para lo que $n$ ¿existen dos grupos de orden $n$ ? ¿Qué tal tres grupos de orden $n$ ?

Sé que si $n$ es primo, sólo existe un grupo de orden $n$ por el Teorema de Lagrange, pero ¿cómo clasificar todas las demás $n$ que tienen $2, 3, 4, ...$ ¿Grupos?

Esta pregunta se me ocurrió durante una clase de teoría de grupos, cuando estábamos haciendo una tabla de grupos de orden $n$ . Por ejemplo, todos los grupos de orden $4$ son isomorfas a $C_4$ o $C_2\times C_2$ .

Answer 1

Los números para los que hay precisamente $1$ , $2$ y $3$ los grupos se clasifican en el documento breve http://www.math.ku.dk/~olsson/manus/tres-números-grupo.pdf Por Jørn Børling Olsson.

Answer 2

Un resultado parcial: existe un único grupo de orden $n$ (es decir, el grupo cíclico) si y sólo si $(n,\phi(n)) = 1$ , donde $\phi$ es la función phi de Euler y $(a,b) = \operatorname{gcd}(a,b)$ . Esto se satisface ciertamente cuando $n$ es un primo, pero cuando $n = 15$ tenemos $\phi(n) = 8$ y como $(15,8) = 1$ existe un único grupo de orden $15$ aunque $15$ no es primo. Se puede encontrar una prueba aquí .

Answer 3

Aquí hay dos posibilidades para $n$ para el que hay precisamente dos grupos de orden $n$ .

1. $n=p_1p_2 \cdots p_n$ para algunos $n \ge 2$ y primos distintos $p_i$ , tal que hay exactamente un par $(i,j)$ con $p_i$ divide $p_j-1$ .

2. $n=p_1^2p_2\cdots p_n$ para algunos $n \ge 1$ y primos distintos $p_i$ donde no hay $(i,j)$ con $p_i$ divide $p_j-1$ y también no $p_i$ divide $p_1+1$ .

¿Hay alguna otra posibilidad $n$ ?

Contrariamente a lo que he escrito antes, es posible tener precisamente tres grupos de orden $n$ . Los valores de $n$ con esta propiedad y $n \le 2000$ son:

 75, 363, 609, 867, 1183, 1265, 1275, 1491, 1587, 1725, 1805

Dejaré que otro describa el conjunto completo de tales $n$ .

Answer 4

Echa un vistazo a esta página de la wikipedia sobre $p$ -grupos: http://en.wikipedia.org/wiki/P-group

Los resultados de la subsección Entre los grupos en virtud de la sección Prevalencia son sorprendentes.

El corolario básico es: Tu pregunta es muy difícil en general.

Answer 5

Exactamente 2 grupos. Hay un documento que pretende clasificar "las órdenes para las que existen exactamente dos grupos". Este enlace contiene el texto de la ponencia en formato de texto (!). No he encontrado un pdf.

Disclamer: No he comprobado si las pruebas del artículo son correctas. Tampoco sé si el artículo fue publicado en alguna revista revisada por pares (probablemente no lo fue).

Exactamente 3 grupos. La proposición 2 del documento anterior dice que si $n$ no está libre de cubos, entonces hay al menos 5 grupos del orden $n$ . Así que sólo te interesan los números sin cubo. Entonces al menos conoces todos los números $n$ con exactamente 3 grupos para $n<50000$ de aquí . En base a esto se sabrá la respuesta probable y entonces se podrá intentar probarla.