¿Cómo se extiende la identidad de Euler respecto a la partición en el disco unitario?

Question

Teorema (Euler) $:$ Para $|x|<1$ tenemos

$$\prod\limits_{m=1}^{\infty} \frac {1} {1-x^m} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} p(n) x^n,$$ donde $p(n)$ denota el número de particiones de $n$ para $n \geq 1$ y $p(0)=1.$

En mi libro la identidad anterior se demuestra sólo para $0 \leq x < 1$ y se dijo al final de la prueba que esta prueba se puede extender analíticamente a todo el disco unitario. ¿Pero cómo lo hago? ¿Podría alguien ayudarme con esto?

Lo que he entendido es que si puedo demostrar que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac {p(n+1)} {p(n)} = 1$ entonces he terminado. Pero no puedo encontrar el límite. Cualquier ayuda con respecto a esto será muy apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

Tal y como menciona Señor Tiburón el Desconocido es fácil demostrarlo utilizando el hecho de que las funciones analíticas de convergencia uniforme convergen a funciones analíticas .

Tenemos convergencia uniforme de un producto infinito fácilmente aquí en cualquier disco de radio $r<1$ desde

$$\left|\log\left[\frac1{1-z^m}\right]\right|=|\log(1-z^m)|\le|z|^m+\frac{|z|^{2m}}{|1-z^m|^2}\le r^m+\frac{r^{2m}}{1-r^m}$$

que converge por la prueba de la proporción para todos los $r\in[0,1)$ .

Así, el LHS es analítico en $|z|<1$ .

Del mismo modo, para el lado derecho, tenemos el límite simple:

$$\left|\sum_{n=0}^\infty P(n)z^n\right|\le\sum_{n=0}^\infty P(n)|z|^n\le\sum_{n=0}^\infty P(n)r^n$$

La convergencia de la última suma también es muy probable que se demuestre en su libro para $r\in[0,1)$ .

Por lo tanto, la RHS es analítica en $|z|<1$ .

Por lo tanto, se deduce de un simple argumento de continuación analítica que esto es válido para todas las $|z|<1$ .