Espectro de la matriz de bloques SPD

Question

Dejemos que $M=\left[\begin{array}{cc}A & B \\B^T & C \end{array}\right]\in\mathbb{R}^{(n+m)\times (n+m)}$ sea una matriz simétrica positiva definida, donde $n\geq m$ , $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , $C\in\mathbb{R}^{m\times m}$ son matrices simétricas positivas definidas y $B\in\mathbb{R}^{n\times m}$ sea una matriz de rango completo, es decir $\text{rank}(B)=m$ . ¿Cuál es el espectro de $M$ en términos de sus bloques? Estoy particularmente interesado en tener un límite inferior en el valor propio mínimo de $M$ . Agradecería mucho cualquier sugerencia o referencia.

Answer 1

$X:=\left[\begin{array}{cc}A & \mathbf 0 \\\mathbf 0 & C \end{array}\right]=M-\left[\begin{array}{cc}\mathbf 0 & B\\ B^T &\mathbf 0 & \end{array}\right]$

$\lambda_{min}\Big(M\Big)$
$= \lambda_{min} \left( X + \left[\begin{array}{cc}\mathbf 0 & B\\ B^T &\mathbf 0 & \end{array}\right]\right)$
$\geq \lambda_{min} \left( X\right) + \lambda_{min} \left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf 0 & B\\ B^T &\mathbf 0 & \end{array}\right]\right)$
$= \lambda_{min} \left( X\right) + -\lambda_{max} \left(BB^T\right)^\frac{1}{2}$
$= \lambda_{min} \left( X\right) -\sigma_{max} \left(B\right)$
$= \min\Big(\lambda_{min}( A),\lambda_{min}(C)\Big) -\sigma_{max} \left(B\right)$
Este límite es agudo --- si se juega con las matrices de proyección, es fácil construir casos en los que esto se cumple con la igualdad.

Algo más de interés
$M \succeq X$ es decir $M$ se especializa $X$ y