Objetos del grupo infinito

Question

Me preguntaba si hay una forma teórica de definir la categoría de infinito de los objetos de infinito-grupo en una categoría $C$ (más generalmente, si $C$ es una categoría infinita en sí misma, pero, en este momento una categoría 1 es suficiente). ¿Existe una estructura modelo en $C^{\Delta^{op}}$ de manera que los objetos que son fibrantes y cofibrantes corresponden a "complejos Kan internos" de manera correcta? Así, por ejemplo, quiero que el nervio enriquecido en C de un objeto grupal real de C sea fibrante y cofibrante en esta estructura modelo. Si no sabes la respuesta en general, por ahora me interesa sobre todo el caso de que $C$ es la categoría 1 de los espacios topológicos (aquí NO quiero pensar en $C$ como si fuera lo mismo que los grupos infinitos o los conjuntos simpliciales, en realidad me importa la topología).

En general, si $C$ es una categoría infinita asociada a una categoría modelo $D$ ¿corresponde esto a la estructura del modelo Reedy en $D^{\Delta^{op}}$ ?

EDIT: En realidad debería pedir una estructura de categorías de modelos SIMPLIFICADOS.

Answer 1

No tengo una respuesta que incluya la categoría de espacios topológicos, pero los dos notables artículos "Sheafifiable Homotopy Model Categories I and II" de Tibor Beke te dan juntos una gran clase de categorías con buenas estructuras modelo en sus objetos simpliciales. Están disponibles en su página web . Creo que tu requisito de los groupoides internos se satisface para estos, pero mejor compruébalo tú mismo.

Answer 2

No existe una categoría modelo sobre las variedades lisas simpliciales que proporcione los datos que buscas, pero hay una estructura de categoría de objetos fibrantes tal que los nervios de los groupoides son fibrantes. Las fibraciones son mapas de Kan (a la Henriques, pero con el requisito adicional de que los mapas en los vértices sean submersiones), y las equivalencias débiles son mapas que inducen isomorfismos en todos los grupos de homotopía simpliciales (de nuevo, como los define Henriques). Los nervios de los groupoides son fibrantes en este sentido, los hipercubrimientos son fibraciones triviales, y los morfismos qua biblios principales son equivalentes a los morfismos a través de tramos en los que el tramo de origen es un hipercubrimiento.

La estructura de esta categoría de objetos fibrantes no se extiende a una estructura de modelo en las variedades simpliciales porque no hay objetos cofibrantes de dimensión positiva (por ejemplo, los hipercubrimientos son fibraciones triviales, pero dada cualquier variedad de dimensión positiva, se puede construir un hipercubrimiento en ella que no admita una sección).

Si todavía se quiere trabajar en una categoría de modelos que capte esto, lo natural es utilizar a Yoneda y pasar a la estructura de modelos locales sobre presheaves simpliciales. Se puede demostrar que se trata de una incrustación totalmente fiel en el nivel de las categorías de homotopía.

Answer 3

¿Revisaste el documento math.AT/0603563 (``integración de $L_\infty$ algebras" de André Henriques)? No soy un experto, pero creo que hace una construcción cercana a lo que buscas en la categoría de los manifiestos lisos.