Sólo tenemos que demostrar que $Q \cap N_G(P) \subset P$ . Este problema se convierte en mostrar $gPg^{-1}=P, g \notin P, g\in Q \implies g \in P$ . Entonces, ¿cómo exactamente $g$ ser miembro de otro $p$ -El grupo Sylow le ayuda a ser miembro de $P$ ?
Respuestas
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Aplicar la teoría de Sylow en $N_G(P)$ : $Q \cap N_G(P)$ es un $p$ -grupo en $N_G(P)$ y por lo tanto debe estar contenido en algunos Sylow $p$ -subgrupo de $N_G(P)$ . Desde $P \unlhd N_G(P)$ , $P$ es el único y por lo tanto $Q \cap N_G(P) \subseteq P$ . (Tenga en cuenta que $Q$ ni siquiera tiene que ser un Sylow $p$ -grupo aquí, sólo siendo un $p$ -subgrupo es suficiente).
Marshal Kurosh
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Si $x\in Q\cap N_G(P)$ entonces esto significa, $x$ es un $p$ -elemento (de $Q$ ) y normaliza un máximo $p$ -subgrupo (a saber $P$ ); esto obliga a que $x$ debe estar en $P$ (por lo demás, $\langle P,x\rangle$ es un subgrupo donde $x$ es $p$ -y normaliza $P$ ; por lo que este grupo es también un $p$ -y contiene $P$ correctamente).
No necesitamos que $Q$ es Sylow; necesitamos que sea $p$ -grupo.
Tenga en cuenta que $x\in Q$ es decir $x$ es $p$ -elemento i.e. $\langle x\rangle$ es un $p$ -grupo.
Entonces $x\in Q\cap N_G(P)$ significa $\langle x\rangle$ normaliza $P$ De ahí que su producto $P\langle x\rangle$ es un subgrupo de $G$ por la fórmula del producto, su orden es la potencia de $p$ y por lo tanto es un $p$ -grupo que contiene $P$ . Debido a la maximización de $P$ como Sylow- $p$ este producto debe ser $P$ . Q.E.D.
