Preguntas sobre open pone en ${\mathbb R}$

Question

Considere el siguiente problema:

Deje ${\mathbb Q} \subset A\subset {\mathbb R}$, el cual de lo siguiente debe ser verdadero?

A. Si $A$ está abierta, $A={\mathbb R}$

B. Si $A$ está cerrada, $A={\mathbb R}$

Desde $\overline{\mathbb Q}={\mathbb R}$, uno puede obtener de inmediato que B es la respuesta.

Aquí están mis preguntas:

¿Por qué Una no es necesariamente cierto? Lo que puede ser un contraejemplo?

Answer 1

Un poco más interesante ejemplo de Lubo puede ser obtenida mediante la enumeración de los racionales como $\mathbb{Q} = \{q_n\}_{n=1}^\infty$ y teniendo en $A = \bigcup_{n=1}^{\infty} (q_{n} - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, q_{n} + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}})$. A continuación, la medida de Lebesgue de $A$ puede ser estimado por $\mu(A) \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \varepsilon$, lo $A$ puede ser de $\mathbb{R}$, incluso si es claramente abierto.

Answer 2

La cuestión se reduce a si existen subconjuntos no vacíos de a $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ que están cerrados en $\mathbb{R}$. La forma más fácil ejemplos son conjuntos finitos, como Luboš Motl señaló. Fácil infinita ejemplo es $\sqrt{2}+\mathbb{Z}$. Theo Buehler mostró que existen medida positiva ejemplos, que es mucho más fuerte y estrechamente relacionado con la pregunta en este enlace.

Otra dirección para fortalecer el resultado es demostrar que no son perfectos ejemplos, que es el objeto de la cuestión en este enlace.

Answer 3

Un contraejemplo para la regla es $$ {\mathbb R} \backslash F $$ donde $F$ es no-vacío finito (o contable) conjunto de los números irracionales. Por ejemplo $$ {\mathbb R} \backslash \{\pi\} $$ Tenga en cuenta que si puedo quitar el punto de $\pi$, el conjunto está todavía abierto en ambos lados de $\pi$. Debido a $\pi$ no es racional, el conjunto de arriba todavía contiene todos los números racionales.

Answer 4

"¿Por qué no es necesariamente cierto? Lo que puede ser un contraejemplo?"

Estoy sorprendido por la complejidad de algunas de las respuestas dadas a este. He aquí un contraejemplo: $$ (-\infty,\pi)\cup (\pi,\infty). $$ Usted puede construir un montón de otros similar a eso, pero más complicado si es necesario.