Prueba $\sqrt{\frac{x+y}{x+y+z}} +\sqrt{\frac{x+z}{x+y+z}} + \sqrt{\frac{y+z}{x+y+z}} \le \sqrt{6}$

Question

Tengo este ejercicio de un libro que he estado leyendo.

Sean x,y,z números reales positivos. Demuestra lo siguiente: $$\sqrt{\frac{x+y}{x+y+z}} +\sqrt{\frac{x+z}{x+y+z}} + \sqrt{\frac{y+z}{x+y+z}} \le \sqrt{6}$$

Pensé que podría utilizar la desigualdad de Cauchy para responder a esta pregunta, pero después de unos cuantos intentos no estoy consiguiendo nada significativo. Sé que como claramente $x + y < x + y + z$ entonces $\sqrt{\frac{x+y}{x+y+z}}$ debe ser menor que uno. He intentado repetir con las otras fracciones y he comprobado que una vez sumadas las fracciones debe ser menor que tres, pero eso es todo lo que he conseguido.

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias

edit: Resulta que puedes usar la desigualdad de Cauchy para resolverlo. Sea $b_1, b_2, b_3 = 1$ . Entonces dejemos que $a_1 = \sqrt{\frac{x+y}{3(x+y+z)}}$ $a_2 = \sqrt{\frac{x+z}{3(x+y+z)}}$ $a_3 = \sqrt{\frac{y+z}{3(x+y+z)}}$ Esto nos lleva a la solución.

Answer 1

Es un resultado de convexidad. Sea : $$a = \frac{x+y}{(x+y+z)}$$ $$b = \frac{x+z}{(x+y+z)}$$ $$c= \frac{y+z}{(x+y+z)}$$ La raíz cuadrada es cóncava: $$\sqrt{\frac23}=\sqrt{\frac13 a + \frac13 b + \frac13 c} \geq \frac13 \Big(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\Big)$$ Lo que da el resultado.

EDIT : Concavidad de $f$ implica que $f$ está por encima de toda función : $$\Delta_y(x) = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}$$

Answer 2

Podemos suponer $x+y+z= 1$ y por la desigualdad AM-GM: $\sqrt{\frac{2}{3}\cdot (1- x)} \le \dfrac{\frac{2}{3}+1- x }{2}$ . Hazlo de nuevo para $y,z$ y se suma . La suma es $2$ que es el lado derecho.