En la categoría de espacios vectoriales, ¿cuántos elementos hay en la clase de isomorfismo de los espacios vectoriales unidimensionales? En segundo lugar, ¿es el álgebra polinómica generada por el símbolo $x$ igual al álgebra polinómica generada por el símbolo $y$ o simplemente isomorfo a ella.
Respuesta
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La primera pregunta no tiene respuesta. Los espacios vectoriales sobre un campo dado (incluso $1$ -espacios vectoriales dimensioanl) son no un conjunto, a menos que se considere una categoría pequeña. Es por la misma razón que el conjunto de todos los conjuntos no existe.
Para la segunda pregunta, la respuesta es "sí: dos álgebras polinómicas en una indeterminada sobre un campo dado $F$ son isomorfas", ya que todas son realizaciones del álgebra libre en un elemento. Pero no son iguales porque el símbolo $x$ (en general) no pertenece a $F[y]$ y viceversa .
