Teoremas en la geometría algebraica que se ha demostrado que sólo mediante el uso de cohomology

Question

Hay muchos teoremas en la geometría algebraica que se probó el uso de cohomology. Me gustaría saber ejemplos de tales teoremas que se ha demostrado que sólo mediante el uso de cohomology. En otras palabras, los teoremas que no han sido hasta el momento han sido sin el uso de cohomology.

Yo estoy pidiendo una gran lista de tales ejemplos.

Answer 1

Aquí hay dos resultados por lo general demostrado por el uso de cohomology y para los que no soy consciente de ninguna otra prueba.

1) Un noetherian esquema de $X$ es afín a si y sólo si su reducción $X_{red}$ es afín
La prueba utiliza Serre la caracterización de noetherian afín a sistemas como los noetherian esquemas para que $H^i(X,\mathcal F)=0$ para todo coherente poleas $\mathcal F$ $X$ y todos los $i\gt 0$ .

2) Un pequeño complejo colector de $M$ es proyectiva algebraica si y sólo si es un colector de Hodge
Un colector de Hodge es un pequeño complejo colector de admisión de un Kähler métrica cuyo asociados fundamentales de la forma $\phi$ tiene una integral De Rham cohomology de la clase: $[\phi]\in H^2_{DR}(M,\mathbb Z)\subset H^2_{DR}(M,\mathbb C)$.
El corazón de la prueba es que en aHodge colector existe una adecuada línea positiva bundle $L$, y para una línea positiva paquete tenemos $H^q(M,\Omega_M^n\otimes L)=0$ $q\gt 0$ ("Kodaira del teorema de fuga") .

Este se había conjeturado por Hodge.
Kodaira la prueba de esta conjetura sin duda jugó un papel importante en su ser galardonado con una medalla Fields en 1954.