Prueba $\Sigma_{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor=\lfloor nx\rfloor$ n es un número natural

Question

Demuestra la siguiente identidad: $$\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{n}\rfloor +\lfloor x+\frac{2}{n}\rfloor +\lfloor x+\frac{3}{n}\rfloor+...+\lfloor x+\frac{n-1}{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor$$ donde n es un número natural.

$$$$At first I thought of splitting it into 2 cases: when x is an integer, and when x isnn't an integer. The case of $ x $ being an integer is quite simple: $ \lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor=x $ for $ 0\le k\le n-1 $. Thus the LHS becomes $ n\lfloor x\rfloor $ which is equal to the RHS. $$$$ Sin embargo, no sé cómo proceder en el caso de $x$ no siendo un número entero.

Por último, en realidad preferiría una prueba en la que no sea necesario hacer casos basados en los valores de $x$ pero para tener una prueba general que satisfaga todas $x$ .

¿Podría alguien mostrarme cómo completar la prueba en ambos sentidos (es decir, primero, el caso en el que $x$ no es un número entero, y en segundo lugar la prueba general que no implica romper en casos)? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Elija los números enteros $a,b$ tal que $0<b\le n$ y $$a-\frac bn\le x<a-\frac {b-1}n\ .$$ (En otras palabras, redondear $x$ hacia abajo al múltiplo más cercano de $1/n$ .) Entonces $$\Bigl\lfloor x+\frac kn\Bigr\rfloor =\cases{a-1&if $ k=0,1,\ldots,b-1 $\cr a&if $ k=b,b+1,\Npuntos,n-1 $.}$$ Así que $$LHS=b(a-1)+(n-b)a=na-b\ ;$$ por otro lado, $$na-b\le nx<na-b+1$$ así que $$RHS=na-b=LHS\ .$$

Answer 2

Permítanme indicarles un continuo proceso para la respuesta de David $$ \begin{gathered} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left\lfloor {x + \frac{k} {n}} \right\rfloor } = n\left\lfloor x \right\rfloor + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left\lfloor {\left\{ x \right\} + \frac{k} {n}} \right\rfloor } = n\left\lfloor x \right\rfloor + \sum\limits_{k\, \geqslant \,\,n\,\left( {1 - \left\{ x \right\}} \right)}^{n - 1} 1 = \hfill \\ = n\left\lfloor x \right\rfloor + n - \left\lceil {n\,\left( {1 - \left\{ x \right\}} \right)} \right\rceil = n\left\lfloor x \right\rfloor - \left\lceil {\, - n\left\{ x \right\}} \right\rceil = n\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor {n\left\{ x \right\}} \right\rfloor = \hfill \\ = \left\lfloor {nx} \right\rfloor \hfill \\ \end{gathered} $$