Uso del teorema de la divergencia

Question

Tengo el siguiente problema:

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ sea un conjunto abierto delimitado con una frontera suave $\partial \Omega$ y la unidad normal $v$ . Calcular para el campo vectorial $a(x,y,z)=(0,0,-pz)$ con $p>0$ el valor de - $\int_{\partial\Omega}\langle a,v\rangle d\mu_{\partial\Omega}$ .

Realmente no sé cómo empezar con este problema. Así que usé el teorema de la divergencia: - $\int_{\partial\Omega}\langle a,v\rangle d\mu_{\partial\Omega}$ = $\int_\Omega \text{div}(a)d\mu_M$ = $\int_\Omega pd\mu_M$ pero no sé cómo proceder a partir de aquí. ¿Puede alguien ayudarme, por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

No dar la forma explícita para $\Omega$ Como mucho podemos decir:

$$\int_\Omega pd\mu_M=p\int_\Omega d\mu_M=pV$$

Ser $V$ el volumen de $\Omega$ (Porque los bonos $\vert x-y\vert\lt M$ para algunos $M$ y $x,y\in\Omega$ )

Answer 2

Ya casi lo tienes: Desde $p$ es constante, puedes sacarlo de la integral, y tener $\int_{\Omega} d\mu_M$ . Pero esto es sólo el volumen de $\Omega$ (¡ese es el objetivo de la medida!).

Puedes pensar en esto como una generalización de la idea de que el área bajo la gráfica es $$\iint_A dx \times dy = \int_{\partial A} (0,y) \cdot \nu \, dl = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \, dt = \int_a^b y \, dx. $$

Answer 3

Tenemos $$ \begin{align*} -\int_{\partial\Omega}\langle a,v\rangle d\mu_{\partial\Omega} &= -\int_{\Omega} \text{div}(a) \: d\mu_{\Omega} \\ &= -\int_{\Omega}\dfrac{\partial}{\partial z}(-pz) d\mu_{\Omega} \\ &= \int_{\Omega}p \: d\mu_{\Omega} \\ &= p \int_{\Omega} d\mu_{\Omega} \\ &= p \cdot \text{Vol}(\Omega). \end{align*} $$