ecuación del eje mayor de un elipsoide

Question

¿Cuál es la ecuación de los 3 ejes principales del siguiente elipsoide? $$ \begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_3 & \beta_2\\ \beta_3 & \alpha_2 & \beta_1\\ \beta_2 & \beta_1 & \alpha_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = 1\tag{1}$$

Answer 1

Su ecuación puede reescribirse como $$ \mathbf{x}^\top\Sigma\mathbf{x}=1, $$ donde $\mathbf{x}=(x, y, z)^\top$ y $$ \Sigma = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_3 & \beta_2\\ \beta_3 & \alpha_2 & \beta_1\\ \beta_2 & \beta_1 & \alpha_3 \end{pmatrix}. $$ Si se toma la SVD (Descomposición del Valor Singular) de $\Sigma$ tendrás $$ \Sigma = VDV^\top, $$ donde $D$ es la matriz diagonal que contiene los valores propios de $\Sigma$ y $V$ es una matriz ortonormal, que contiene los ejes (sus columnas). Digamos, $$ D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3). $$ Las longitudes de los ejes vienen dadas por $$ a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}, b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}, c = \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}}. $$ Entonces, puedes tener tu elipsoide de la siguiente forma: $$ \Big(\frac{x}{a}\Big)^2 + \Big(\frac{y}{b}\Big)^2 + \Big(\frac{z}{c}\Big)^2 = 1. $$

EDITAR: Si sólo necesita los ejes, puede encontrarlos en las columnas de $V$ .