Explicación para la velocidad de un impulso eléctrico

Question

Nuestro libro de cálculo, Stewart, tiene un problema en el que dicen que por un cable metálico (radio interior $r$) encerrado en aislamiento (radio exterior $R$), la velocidad de un impulso eléctrico está dada por

$$v = - k \left(\frac{r}{R}\right)^2 \ln \left(\frac{r}{R}\right)$$

donde $k$ es una constante positiva.

Mi pregunta Lo que me gustaría saber es que la física, la justificación de su reclamación.

Mis pensamientos Allí afirman es algo sorprendente, ya que por lo suficientemente alto aislamiento R, con r fijo, la velocidad del impulso disminuye (por L'Hospital) con más de aislamiento.

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EDIT: he recibido este correo electrónico después de ponerse en contacto con Brooks/Cole, el editor del libro de texto. La respuesta no realmente ayudar por desgracia.

Hola Profesor ...,

Acabo de escuchar de nuevo de la autora con respecto a su consulta: "puedo entender por qué la Profesora ... piensa que esta ecuación es contrario a la intuición, pero es de hecho correcta. He estado >tratando de rastrear la fuente que he utilizado en la elaboración de este problema, pero por desgracia me >parece que no puede encontrar ahora mismo." Yo sin duda le permitirá saber si él es capaz de rastrear >el origen de la información. Lo siento, no te puedo dar una respuesta concreta en este >momento. Mejor, ...

[JIRA] (KYTS-1199) el Contenido de la Retroalimentación del Instructor para ISBN: 0495014281 Esencial >Cálculo: Principios Trascendentales 1ª edición.

Answer 1

Creo que llegué a los orígenes de esta ecuación. Con toda probabilidad, esta ecuación describe no una velocidad de un impulso eléctrico, pero una corriente directa de energía transmitida a través de un superconductor de cable coaxial.

Una prueba:

Considere la posibilidad de una simple transmisión de CC cable coaxial. Para eliminar las pérdidas de energía debido al calentamiento por efecto Joule en los cables, el interior(de radio $r$) y exterior(de radio$R$) conductores están hechos de un superconductor. El conductor interior está aislado por un material dieléctrico. Cuánta energía puede ser transferida a través de el cable?

Deje que el máximo permitido de campo magnético de inducción sobre la superficie del superconductor ser $B_\text{max}$ y el máximo del campo eléctrico en el intercalario aislante ser $E_\text{max}$. Vamos a una corriente a través de el cable se $I$.

A continuación, el siguiente se tiene:

$$B_\text{max}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\Rightarrow I=\frac{2\pi}{\mu_0}rB_\text{max}$$

Ya que estamos tratando con superconductores que mantener el potencial en la superficie(así como el lineal de la densidad de carga λ) constante.

Eso significa que el siguiente se tiene:

$$E_\text{max}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}$$

La diferencia de potencial entre el interior y el exterior de los conductores:

$$U=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{r}^{R}\frac{dl}{l}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\frac{R}{r}=rE_\text{max}\ln\frac{R}{r} $$

Así, la transmisión de potencia:

$$P=UI=\frac{2\pi}{\mu_0}E_\text{max}B_\text{max}r^2\ln\frac{R}{r}$$

Esta es la misma función que en la cuestión, sólo que con distintos constante $k$

Para analizar el resultado vamos a introducir la relación de $x=\frac{R}{r}$:

$$P=UI=\frac{2\pi}{\mu_0}E_\text{max}B_\text{max}R^2\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)$$

Uno puede ver que en el $R=\text{const}$, $P$ como una función de la $x$ tiene un máximo. Esto sucede en $x=\sqrt{e}$

Así que la máxima transferencia de potencia en la DC superconductor cable de transmisión:

$$P_\text{max}=\frac{\pi}{\mu_0e}E_\text{max}B_\text{max}R^2$$