$X+\mathbb{E}[X]\geq \mathbb{E}[X|\mathcal{F}]$ para la variable aleatoria $X\geq 0$ ?

Question

Dejemos que $X \geq 0$ sea una variable aleatoria no negativa, y $\mathcal{F}$ sea cualquier $\sigma$ -Álgebra. ¿Es cierto que $$X+\mathbb{E}[X]\geq \mathbb{E}[X|\mathcal{F}]$$
¿casi seguro?

La intuición es clara para mí: más información da una mejor estimación de $X$ . Por lo tanto, el valor de $\mathbb{E}[X|\mathcal{F}]$ debe estar entre $X$ y $\mathbb{E}[X]$ . Tengo problemas para demostrar esto de forma rigurosa. ¿Alguna sugerencia sobre qué teoremas puedo utilizar?

Answer 1

La intuición es que $\mathbb{E}[X \mid \mathcal{F}]$ será al menos tan cercano a $X$ como $\mathbb{E}[X]$ es, porque proporciona más información sobre $X$ . Esto definitivamente no es cierto a.s. Por considerar un caso donde $X=a>0$ con probabilidad $1-2\epsilon$ , $X=2a$ con probabilidad $\epsilon$ y $X=c \gg a$ con probabilidad $\epsilon$ . Entonces para $0<\epsilon \ll a/c$ , $\mathbb{E}[X] \approx a$ . Considere $\mathcal{F}$ que se generará por $\{ X=a \}$ . Entonces, si $\omega$ es tal que $X(\omega)=2a$ entonces $E[X \mid \mathcal{F}](\omega) \approx c/2$ , mientras que $c/2 - a \gg 2a-a$ .

Sin embargo, esto es cierto en la mayoría de las métricas razonables que ponderan los eventos en función de sus probabilidades. Por ejemplo, es cierto en $L^2$ como se deduce de la ley de la varianza total: $\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[\operatorname{Var}(X \mid \mathcal{F})]+\operatorname{Var}(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{F}])$ .

Answer 2

Lo siento, parece que encuentro un contraejemplo..

Supongamos que $X = 0$ con probabilidad $0.999$ , $X = 1$ con probabilidad $0.0005$ y $X = 100$ con probabilidad $0.0005$ . Entonces $\mathbb{E}[X] \approx 0.05$ .

Dejemos que $\mathcal F$ indican si $X = 0$ es cierto o no. Si la realización de $X$ es $X = 1$ entonces $\mathbb{E}[X|\mathcal F] = 50.5$ . La desigualdad anterior falla.