Encuentra el siguiente límite $\lim_{x\to \infty} \operatorname{arccosh}(x) - \log_e x$

Question

Encuentra el siguiente límite utilizando el hecho de que $ \operatorname{arccosh} (x) = \log_e \left(x + \sqrt {x^2-1}\right) $

$$ \lim_{x\to \infty} \operatorname{arccosh}(x) - \log_e x$$

Answer 1

Siguiendo la pista, ya que $\log A-\log B= \log \frac A B$ tenemos

$$\operatorname{arccosh}(x) - \log x=\log \left(1 + \frac{\sqrt {x^2-1}}x\right)$$

entonces basta con determinar

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt {x^2-1}}x$$

Answer 2

El límite requerido es $\ln{2}$ .

\begin{align} \lim_{x\to\infty} \text{arccosh(x)}-\ln{x} &=\lim_{x\to\infty} \ln{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)-\ln x}\\\\&= \lim_{x\to\infty} \ln{\left(1+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)}\\\\ &= \ln{\left(1+\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)}\\\\ &= \ln{\left(1+\lim_{x\to\infty}\frac{|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}\right)}\\\\ &=\ln{(2)} \end{align}