¿Cómo demuestro que no existe un conjunto cuya potencia sea contable?

Question

No sé ni por dónde empezar con esto.

Dejemos que $A$ sea un conjunto contable. En otras palabras, $|A| = |\mathbb{N}|$ . Estoy tratando de demostrar que no existe un $x$ tal que $\mathcal{P}x = A$ .

¿Tal vez una prueba por contradicción? Supongamos que hay un conjunto $x$ cuyo conjunto de potencia era contable ...

Answer 1

SUGERENCIA:

• ¿Puede el conjunto de potencias de un conjunto finito ser infinito?
• ¿Es contable el conjunto de potencias de un conjunto contablemente infinito? En particular, ¿es $\wp(\Bbb N)$ ¿contable?

Answer 2

Aquí hay un hecho más fuerte (demostrable sin el axioma de elección): Si $\mathbb N$ inyecta en $\mathcal P(A)$ Entonces, de hecho $\mathcal P(\mathbb N)$ inyecta en $\mathcal P(A)$ . Este es un elegante resultado de Kuratowski, y aparece como Théorème B en

Alfred Tarski. En los conjuntos finitos , Fondo. Math. 6 (1924), 45-95.

(Evidentemente, si $\mathcal P(A)$ es infinito, entonces también lo es $A$ . El hecho más fuerte es bastante fácil si se asume que $\mathbb N$ inyecta en $A$ . Pero es coherente con los axiomas de la teoría de conjuntos sin elección que haya infinitos conjuntos en los que $\mathbb N$ no se inyecta. Más aún, es consistente que haya infinitos conjuntos $A$ tal que $\mathbb N$ no se inyecta en $\mathcal P(A)$ por lo que la suposición no puede ser debilitada).

El esquema de la prueba es sencillo: Si $\mathbb N$ inyecta en $\mathcal P(A)$ entonces hay una suryección $g$ de $A$ en $\mathbb N$ . Pero entonces tenemos una inyección $f$ de $\mathcal P(\mathbb N)$ en $\mathcal P(A)$ dado por $f(X)=\{a\in A\mid g(a)\in X\}$ . El paso difícil es producir la suryección $g$ .

Escribí los detalles de este argumento en mi blog .