Supongamos que $d_\mathrm{TV}(\mathbb{P}_n,\mathcal{N}(0,1)) \to 0$ para una secuencia de distribuciones de probabilidad $\mathbb{P}_n$ . ¿Es cada $k^{th}$ momento de $\mathbb{P}_n$ necesariamente finita después de algunos $n_k$ ?
En caso afirmativo, ¿cada secuencia de momentos converge necesariamente a los momentos de $\mathcal{N}(0,1)$ ?
No. Ejemplo: $\mathbb{P}_n=\frac{1}{n} Q + \left(1-\frac{1}{n}\right) \mathcal{N} $ donde $Q$ es un Cauchy y $\mathcal{N}=\mathcal{N}(0,1)$ .
Dejemos que $B$ sea cualquier conjunto de Borel. $|\mathbb{P}_n(B)-\mathcal{N}(B)|=\frac{1}{n}|Q(B)-\mathcal{N}(B)| \leq \frac{1}{n}$ .
$d_\mathrm{TV}(\mathbb{P}_n,\mathcal{N})=\sup_B |\mathbb{P}_n(B)-\mathcal{N}(B)| \to 0$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
