Una fantasía de Pink Floyd referencia me ha llevado a preguntarme cuál es la luz blanca que pasa a través de un objeto con una infinitamente complejo superficie haría. Sería salir de una sola forma caótica-punto elegido en la superficie? Sería dividida en sus distintos colores, cada uno con una trayectoria diferente, como en un run-of-the-mill prisma triangular? Serían estos los colores de salida de un tramo continuo de la superficie, o tendría que ser distribuido caóticamente? ¿Y si en vez de una sola idealizada rayo de luz blanca, fueron un rayo de pequeña, pero no cero de ancho?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
kristjan
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Es esta una buena pregunta?
A primera vista, el problema puede parecer mal definidos. Sin embargo, esto no es así, como hemos podido físicamente aproximada el fractal por (2d o 3d) "impresión" en alta resolución, de tal manera que cada píxel tamaño es mucho más pequeño que la longitud de onda de la luz y acaba de hacer el experimento. La adición de más detalles no altera mucho la luz, como altamente subwavelength los objetos se fusionan en el fractal de una manera similar como las moléculas individuales de agua de mezcla en la masa de agua líquida para la luz visible.
Introducción
Cálculo de la pauta real es probablemente muy difícil y debe hacerse con simulaciones por ordenador. Sin embargo, aquí les presento algunas estimaciones. Los que no quieren ir a las matemáticas y óptica ondulatoria puede omitir el "Derivados de las fórmulas" en la sección y leer sólo los "Resultados".
La derivación de las fórmulas
Supongamos que iluminan el fractal con una luz monocromática. La solución a las ecuaciones de Maxwell es la superposición de la lámpara de la luz de onda y la contribución de cada pequeño punto en el fractal que interactúa con la ola. Sólo estos pequeños puntos de contribuir a la resultante refractada/la luz reflejada. Yo modelo el resultado, asumiendo una colección de $N \gg 1$ puntos, confinados en una región con un radio de aproximadamente $R \gg \lambda$. El observador está mirando desde cierta distancia $L \gg R$.
El complejo campo eléctrico (sin tener en cuenta el desplazamiento de fase en el tiempo) es matemáticamente $$E_{direction} \propto \sum\limits_{p} k_p e^{i2 \pi x_p / \lambda}$$ donde $k_p$ es de unos complejos constante que describe la amplitud y la fase del campo generado de algún punto de $p$ $x_p$ es la distancia a ese punto. El término debido a campo de difuminación con la distancia es la constante de proporcionalidad.
Según las estadísticas, el campo eléctrico en promedio para diferentes direcciones es $$|E_{dirección}| \aprox |(\sum \limits_p |E_{avg}| e^{i \cdot al azar\:número})| = |E_{avg}| |\sum \limits_p e^{i \cdot al azar\:número}| \aprox |E_{avg}| \sqrt N$$ Rotación de nuestro punto de observación por el ángulo de $d \theta$ cambios de las distancias a los puntos por $|dx_p| \approx R d \phi$. Tomando derivado de la $E$ desde la primera ecuación de (constante multiplicada por la exponencial): $$|\frac{dE_{dirección}}{d \theta}| \aprox |\sum\limits_p E_{avg} \cdot \frac{i2 \pi R}{\lambda} e^{i \cdot al azar\:número}| \aprox |E_{avg}| \cdot \frac{2 \pi R}{\lambda} \sqrt N$$
La resolución de la última igualdad por $d \theta$ y ajuste de parámetros, de forma que $\Delta \theta$ es el ángulo aproximado entre brillante reflexión/refracción de las direcciones y de la oscuridad ($\Delta E_{direction} \approx E_{direction}$): $$\Delta \theta \aprox \frac{|E_{dirección}|}{|E_{avg}| \cdot \frac{2 \pi R}{\lambda} \sqrt N} = |\frac{E_{avg} \sqrt N}{E_{avg} \cdot \frac{2 \pi R}{\lambda} \sqrt N}| = \frac{\lambda}{2 \pi R} $$
Similar tratamiento para $\lambda$ (tomando la derivada con respecto a y uso de este para encontrar $\Delta \lambda$) también revela que en el fin de convertir un brillante interferencia lugar oscuro, en promedio, la longitud de onda tiene que ser variado por $$\Delta \lambda \approx \frac{\lambda^2}{2 \pi R}$$
Resultados
Iluminación blanca
La última fórmula muestra que, si el fractal es lo suficientemente grande, por ejemplo. $0.03 mm$ (mucho mayor que la longitud de onda de la luz), el fractal aparece también en blanco y uniforme. Esto es debido a que el espectro de la reflejada varía muy rápidamente y por lo tanto, se compone de muchos picos y valles en el espectro visible (en el caso de 0,03 mm, no están en el orden de ~1000 de ellos), pero ojo humano sólo tiene tres o cuatro tipos diferentes de color-detección de receptores.
Monocromática de iluminación
Si el fractal se ilumina en un muy de luz monocromática (luz con una sola longitud de onda), para luego mover su ojo de cambiar rápidamente la intensidad de la luz se ve. Si usted podría estar viendo el $0.03 mm$ fractal a partir de una distancia de $1 m$, el fractal hace aproximadamente un parpadeo al mover la posición de los ojos por $~3 mm$.
Son mis análisis correcto?
La única suposición que hice fue que el fractal de los patrones de difracción son muy "random". Aunque podría darse el caso de que esta suposición es equivocada de algunos fractales especiales, parece ser un derecho de la asunción en la mayoría de los casos. En la final, los fractales pueden ser muy diferentes y a menudo han continuo de los parámetros que se pueden cambiar. Sería realmente parece increíble que la mayoría de ellos se producen algunos muy organizado resultado, independientemente de la longitud de onda.
