calcular la función de densidad de probabilidad de una función bivariada sin muestreo

Question

Supongamos que $X_1 \sim f_{X_1}(x_1)$ , $X_2 \sim f_{X_2}(x_2)$ son variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conocida.

¿Hay alguna manera de calcular la función de densidad de probabilidad de una función bivariada $g(x_1,x_2)$ asumiendo en un soporte finito específico $x_1 \in [a_1,b_1]$ y $x_2 \in [a_2,b_2]$ sin el muestreo de Montecarlo o cualquier otro método de muestreo? $X_1$ y $X_2$ son independientes, y $g $ es "suave".

Estoy buscando una manera de implementar posiblemente el cálculo numéricamente para un $g$ .

Answer 1

HINT

Vamos a cambiar el nombre de sus variables $X,Y$ para facilitar la notación. Así que está definiendo $$ Z = g(X,Y) $$ y preguntar cuál es la función de densidad de probabilidad de $Z$ . Para simplificar, vamos a suponer un determinado (muy simple) $g$ Digamos que $Z = X+Y$ .

$Z=z$ significa $X+Y=z$ Así que $X=z-Y$ condicionemos a $Y=y$ Entonces, se termina con $$ f_Z(z) = \int_\mathbb{R} f_X(z-y) f_Y(y) dy. $$

Así que si $g(x,y)$ tiene una bonita forma que permite resolver $z = g(x,y)$ para una de las variables en términos de la otra, puedes utilizar esta técnica para obtener el pdf...