diff.eq.: estabilidad lineal de la EDO

Question

Estoy atascado con un pequeño ejercicio y no puedo encontrar dónde me equivoco. Tal vez puedas ayudarme.

Así que tenemos una ecuación diferencial (crecimiento logístico modificado):

$$\frac{dN}{dt}=k \ N \left(1-\frac{N}{B}\right) -aN$$

y las preguntas "¿Cuáles son los estados estables $x^*$ y sus estabilidades lineales".

Puedo encontrar los estados estables; ponemos el RHS en cero y resolvemos: $N=0$ o $$\left( 1-\frac{N}{B}-a\right)=0 \Leftrightarrow N=B(1-a).$$ Pero, ¿qué es la estabilidad lineal? Supongo que no significa continuidad, es decir, un pequeño cambio en $t$ conduce a un pequeño cambio en $N$ .

Creo que significa que un pequeño cambio en $N$ significa que el cambio en $N$ como $t\rightarrow \infty$ será cero? Pero, ¿cómo puedo comprobarlo rigurosamente? ¿Y qué tiene que ver la linealidad con esto?

-¡Marie!

Answer 1

Su sistema se puede escribir como: $$\frac{dN}{dt}=f(N) \ , \ with \ f(N)=kN\left(1-\frac{N}{B}\right)-aN$$ Para definir la estabilidad del punto fijo, tome un punto fijo $N^{*}$ y que $$\eta(t)=N(t)-N^{*}$$ sea una pequeña perturbación alejada de $N^{*}$ . Si el punto fijo es estable, esta pequeña perturbación decaerá con el tiempo, de lo contrario crecerá (punto fijo inestable). Diferenciando la ecuación anterior obtenemos: $$\frac{d \eta}{dt}=\frac{dN}{dt}$$ Tenga en cuenta que $$\frac{d\eta}{dt}=\frac{dN}{dt}=f(N)=f(N^{*}+\eta)$$ Utilizando la expansión de Taylor obtenemos: $$f(N^{*} + \eta)=\frac{d\eta}{dt}=f(N^{*})+\eta f'(N^{*})+\mathcal{O}(\eta^2)$$ Sabemos que $f(N^{*})=0$ desde $N^{*}$ es un punto fijo.

• Caso A

Si $f'(N^{*}) \neq 0$ El $\mathcal{O}(\eta^2)$ son despreciables y podemos escribir la aproximación:

$$\frac{d\eta}{dt}\approx \eta \cdot f'(N^{*})$$

Esta ecuación lineal es la linealización sobre el punto fijo $N^{*}$ y muestra el comportamiento de la perturbación $\eta (t)$ con el tiempo. Como puedes ver, $\eta (t)$ crece exponencialmente si $f'(N^{*})>0$ y decae si $f'(N^{*})<0$ . Por lo tanto, su punto fijo es estable si $f'(N^{*})<0$ .

• Caso B (no es su caso)

Si $f'(N^{*})=0$ entonces la linealización falla y el $\mathcal{O}(\eta ^2)$ son no despreciables. En este caso hay que hacer un análisis no lineal, resolviendo la ecuación no lineal (preferiblemente con un método numérico como $RK4$ ) y determinar la estabilidad en el campo vectorial alrededor del punto fijo, por ejemplo.