Aproximación de funciones acotadas de Borel

Question

Dejemos que $K$ sea un espacio compacto y que $B$ sea el espacio de funciones acotadas de Borel sobre $K$ equipado con la norma del supremum. Demuestre que las funciones simples (es decir, las funciones que sólo alcanzan un número finito de valores) son densas en $B$ .

He visto la prueba que demuestra que las funciones simples son densas en $L_{p}$ espacio. No veo cómo adaptarlo a este caso.

Gracias

Answer 1

Primera prueba. Dejemos que $f$ sea una función acotada de Borel y $\varepsilon>0$ . Sea $s=\sup_{x\in K} \lvert f\rvert<\infty$ , $M=\lfloor M\rfloor+1$ y $n\in\mathbb N$ , de tal manera que $1/n<\varepsilon$ .

Dejemos que $$ E_{k,n}=\left\{x\in K: \frac{k}{n}\le f(x)<\frac{k+1}{n}\right\}, \quad -nM\le k\le nM. $$ Definir $$ f_n=\sum_{k=-nM}^{nM} \frac{k}{n}\chi_{E_{k,n}}, $$ donde $\chi_{E_{k,n}}$ es la característica de $E_{k,n}$ . Entonces el rango de $f_n$ es finito y $$ \|f_n-f\|_\infty\le \frac{1}{n}<\varepsilon. $$

Segunda prueba. Este espacio, el $\mathscr L^\infty(K)$ es el dual del espacio $\mathcal M(K)$ de medidas complejas (o con signo) de Borel en $K$ (esto no es un hecho trivial). Pero suponiendo esto, lo que se quiere demostrar se vuelve muy sencillo, ya que basta con demostrar que si $\mu\in\mathcal M(K)$ y $\int_K f\,d\mu=0$ para cada Borel $f$ con rango finito, entonces $\mu=0$ . O lo que es lo mismo: si $\int_K \chi\,d\mu=0$ para toda característica de Borel, entonces $\mu=0$ . O lo que es lo mismo: si $\mu(E)=0$ para cada Borel $E$ entonces $\mu=0$ .