Convertir la relación de cosenos en tangente o cotangente

Question

Dada la función:

• $f : [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}$
• $f(x) = \frac{\cos{x}}{\cos{(x-a)}}$ para algunos $a \in \mathbb{R}$

¿Es posible convertirlo en algún tipo de traducción o transformación? $\tan{x}$ o $\cot{x}$ ?

Lo he representado para algunos valores de $a$ y parece que lo anterior debería ser posible pero estoy perdido al buscar la fórmula real.

Answer 1

Sí que lo es. Sólo tienes que resumir $\pm a$ en el argumento del coseno superior $$f(x)=\frac{\cos(x-a+a)}{\cos(x-a)}$$ y utilizar la expresión para la suma de ángulos $$f(x)=\frac{\cos(x-a)\cos(a)-\sin(x-a)\sin(a)}{\cos(x-a)}=\cos(a)-\tan(x-a)\sin(a)$$

Answer 2

También puedes hacer lo siguiente.

$$f(x) = \frac{\cos{x}}{\cos{(x-a)}}=\frac{1}{\frac{\cos(x-a)}{cos(x)}}=\frac{1}{\frac{\cos(x)\cos(a)+\sin(x)\sin(a)}{cos(x)}}=\frac{1}{\cos(a)+\sin(a)\tan(x)}$$