Muestra la desigualdad de $|\alpha + \beta|^p \leq 2^{p-1}(|\alpha|^p + |\beta|^p)$

Question

Tengo una pequeña pregunta que creo que es muy básico, pero estoy seguro de cómo abordar desde mi experiencia en la computación de las desigualdades es embarrasingly débil -

Me gustaría mostrar que, para un número real $p \geq 1$ y números complejos $\alpha, \beta$, he $$\begin{equation} |\alpha + \beta|^p \leq 2^{p-1}(|\alpha|^p + |\beta|^p) \end{equation}$$

Pensé que sería mejor volver a escribir esto como $$\begin{equation} \left|\frac{\alpha + \beta}{2}\right|^p \leq \frac{|\alpha|^p + |\beta|^p}{2} \end{equation}$$

pero entonces yo no estoy seguro de qué hacer a continuación - es este un sensible inicio de todos modos ? Cualquier ayuda sería genial !

(P. S. esto no es una tarea pregunta - actualmente estoy tratando de mantener mi conocimiento de $L^p$ espacios, y esta desigualdad se acercó como una declaración. Pensé que podría ser wortwhile para asegurarse de que puede llenar los vacíos para mejorar mis habilidades en la computación de las desigualdades.)

Answer 1

• El mapa de $x\mapsto x^p$ $x\geq 0$ es convexo, ya que su segunda derivada es $p(p-1)x^{p-2}\geq 0$.
• Tenemos $$\left|\frac{a+b}2\right|^p\leq \left(\frac{|a|+|b|}2\right)^p\leq \frac{|a|^p+|b|^p}2.$$

Answer 2

De hecho, una de las ventajas de la argumentación de john w.'s respuesta es que puede ampliarse aún más para probar $$(a+b)^n\leq p^na^n+q^nb^n,$$ where $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. In particular, one can choose the coefficient of $^n$ very close to $1$ by paying the price of a larger coefficient of $b^n$.

La prueba se logra con el argumento de cualquiera de las $(a+b)\leq pa$ o $(a+b)\leq qb$ mantiene. Esto es cierto ya que de lo contrario se llegaría a una contradicción que $\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)a+b>a+b$.

Answer 3

Si el $p-1$ $p$ no es un gran problema, a continuación, creo que las siguientes obras. $|\alpha+\beta|\leq |\alpha|+|\beta|\leq 2\max\{|\alpha|,|\beta|\}$. Si el max es $|\alpha|$,$|\alpha+\beta|^p\leq 2^p|\alpha|^p\leq 2^p(|\alpha|^p+|\beta|^p)$. Asimismo, para $\beta$. En caso de conseguir la desigualdad desea.