Suma de $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3\cdot 4} + \cdots$

Question

Estoy practicando para el GRE, y me encontré con la siguiente pregunta: Encuentre la suma $$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6}\cdots. $$ La respuesta es $\log(2)$ con la pista: "Aplicar fracciones parciales a cada término y luego reconocer la serie para $\log(1 + x)$ o estimación". No tengo ni idea de lo que significan las fracciones parciales en este contexto, y he intentado sin éxito manipular esta suma sacando términos para ponerla en una forma conocida. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Tenemos que

$$\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)2k}=\sum_{k=1}^n \left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k} \right)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac1k$$

entonces remítase a la Series armónicas alternas y el correspondiente Suma de las series armónicas alternas $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \cdots $ .

Answer 2

Hay que saber dos cosas para resolver este problema.

Primero cómo cambiar las fracciones a diferencia de fracciones.

Por ejemplo: $$ \frac {1}{(4)(5)}=1/4-1/5 $$

En segundo lugar, hay que saber $$1-1/2+1/3-1/4+... = \ln (2) $$