líneas invariantes de la transformación afín

Question

Pronto escribiré un examen de álgebra lineal, esta es mi preparación, por favor revisen si mi solución es correcta.

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Encontrar todas las líneas invariantes de la transformación afín $A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $A(x,y)=(2x+y-1,y+1)$ .

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Mi solución:

Dejemos que $B$ sea la parte lineal de $A$ es decir $B(x,y)=(2x+y,y)$ .

Entonces $B$ tiene dos valores propios: $1$ y $2$ con vectores propios $(1,-1)$ y $(1,0)$ respectivamente.

Para el primer vector propio: Tengo que encontrar un punto $(a,b)$ tal que la línea $\ell:\ (a,b)+t(1,-1)$ es invariable. La condición $A(\ell)\subset\ell$ me da $a=-1$ , $b=1$ (después de algunos cálculos), por lo que $(-1,1)+t(1,-1)$ es una línea invariante.

Para el segundo vector propio: Tengo que encontrar un punto $(a,b)$ tal que la línea $\ell:\ (a,b)+t(1,0)$ es invariable. La condición $A(\ell)\subset\ell$ me da una contradicción ( $b+1=b$ aparece allí).

Por lo tanto, $(-1,1)+t(1,-1)$ es la única línea invariante de $A$ .

Answer 1

A mí me parece bien, aunque se podría simplificar la línea invariante a $t(1,-1)$ ya que pasa por el origen.

Para un enfoque algo diferente de este problema, se puede pasar a coordenadas homogéneas en el plano proyectivo. La matriz homogénea de la transformación es $$M=\begin{bmatrix}2&1&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}.$$ Lines are covariant, i.e., if points transform as $\mathbf p'=M\mathbf p$, then lines transform as $\mathbf l'=M^{-T}\mathbf l$, so we’re looking for eigenvectors of $M^{-T}$. This matrix is pretty easy to invert, giving $$M^{-T}=\begin{bmatrix}\frac12&0&0\\-\frac12&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$$ con valores propios $1$ y $\frac12$ (consistente con los valores propios que encontró para la parte lineal de $M$ ).

Para $\lambda=1$ podemos ver por inspección que $[0,0,1]^T$ es un vector propio, pero éste es la línea en el infinito, que se fija por cualquier transformación afín del plano. También tenemos $$M^{-T}-I = \begin{bmatrix}-\frac12&0&0\\-\frac12&0&0\\1&-1&0\end{bmatrix},$$ que podemos ver a simple vista tiene rango 2, por lo que no hay otros eigenvectores linealmente independientes de $1$ .

Pasando al otro valor propio, puedes darte cuenta de que la suma de las dos primeras columnas es $\left[\frac12,\frac12,0\right]^T$ Así que $[1,1,0]^T$ es un vector propio. (Por supuesto, también se puede encontrar este vector propio de la forma más habitual.) Esto corresponde a la línea $x+y=0$ o, en forma paramétrica, $t(1,-1)^T$ .