Pre-requisitos necesarios para la teoría de números algebraicos

Question

Reconozco mi conocimiento limitado de álgebra abstracta (mi formación en grupos y subgrupos de Topics in Algebra de Herstein apenas merece mención). Y aún así, confieso que me gustan mucho los números y los números primos. En resumen, deseo explorar la teoría de números algebraicos, de la que me han dicho que requiere un fondo definitivo. Me gustaría saber exactamente qué necesito saber antes de estudiar la teoría de números algebraicos.

Editar: No estoy buscando atajos. Me refiero a estudiar algo realmente concreto.

Answer 1

Si estás dispuesto a trabajar, recomiendo el siguiente plan de tres pasos: [1] conseguir Álgebra Abstracta de Dummit y Foote y [2] conseguir Introducción Clásica a la Teoría de Números Moderna de Ireland y Rosen. Ireland and Rosen desarrolla un enfoque muy agradable hacia la teoría de números desde un punto de vista principalmente algebraico, y es bastante suave.

Aquí está el truco: Realmente no sé cuánto álgebra abstracta sabes, pero Dummit y Foote son milagrosamente buenos como referencia temprana. Si quieres saber acerca, por ejemplo, de campos, puedes abrir el capítulo de campos y empezar a leer, y estarás bien. No es excesivamente complicado en notación o excesivamente autorreferencial. (Estoy tratando de distinguir esto de libros como Análisis Real de Folland: ninguna demostración tiene más de un párrafo, casi, porque cada demostración se ve como "Usa el teorema 16.4(a) para mostrar tal cosa, luego argumenta como en la demostración de 3.2.1 para hacer esto y aquello, y concluye de manera similar al final del corolario 4.2", que es genial si conoces esas cosas y terrible si no lo haces. Nota al margen - Me gusta Folland).

Así que puedes pasar por Ireland y Rosen, refiriéndote a Dummit y Foote cuando lo necesites. Te animaría a aprender algo de teoría de módulos/anillos/campos/galois mientras aprendes algo de teoría de números algebraicos, ya que eventualmente será necesario entender la teoría de números algebraicos y es más difícil simplemente hacer referencia a ellos.

Finalmente, como estoy seguro de que has estado esperando el tercer paso del plan de tres pasos, te recomendaría encontrar a un profesor/mentor/compañero con quien trabajar, para que cuando te encuentres con algo que no has visto antes, puedas preguntar dónde buscar. Veo que Ragib escribió una respuesta similar en sensación mientras escribía mi respuesta, y hay cierta similitud en nuestra recomendación: probablemente puedas empezar ahora, pero aprende algo de álgebra mientras progresas.

Answer 2

Muchos comentarios anteriores parecen demasiado pesimistas. Eventualmente lo necesitarás, pero no es necesario que seas un experto en álgebra conmutativa y teoría de Galois para comenzar a disfrutar de la teoría de números algebraicos. Disfruto del texto "Teoría de Números Algebraicos" de Richard Mollin, que es ideal para el autodidactismo (con muchos ejemplos y ejercicios) y no requiere muchos requisitos previos. De hecho, el autor afirma

El texto es accesible para cualquier persona, desde el estudiante universitario de último año hasta el científico investigador. Los principales requisitos son los conceptos básicos de un primer curso de álgebra abstracta, los fundamentos de un curso introductorio de teoría de números elementales y cierto conocimiento básico de teoría de matrices. En cualquier caso, los apéndices, como se describe a continuación, contienen una revisión de todo el material de fondo necesario. Básicamente, el estudiante maduro, con un conocimiento de álgebra, puede trabajar a través del libro sin ningún impedimento serio o necesidad de consultar otro texto.

Por lo tanto, mi recomendación para la base que debes tener antes de comenzar ese libro serían los conceptos básicos de teoría de grupos universitaria, teoría de anillos y álgebra lineal. La cantidad que cubre Herstein en su libro "Temas de Álgebra" sobre esos temas es suficiente. Podrás apreciar una cantidad decente del libro con eso principalmente. Luego, a medida que avances en el libro, también deberías aprender sobre campos y teoría de Galois.

Answer 3

La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números. El álgebra se APLICA para resolver preguntas teóricas de números. No es necesario ser un experto en álgebra conmutativa para entenderlo (especialmente no en la TNA básica). Siento que las ideas y las intuiciones son más importantes que las pruebas para comenzar, hay varios estudios interesantes en esta área que pueden verse afectados por detalles y formalidades si se estudian desde fuentes puramente algebraicas.

Mi primer texto para TNA fue Stewart/Tall, "Teoría algebraica de números y el Último Teorema de Fermat". Este es un buen libro que comienza introduciendo el álgebra básica que necesitas y mostrando cómo usarla para estudiar la teoría de números (es decir, resolver ecuaciones diofantinas usando campos numéricos). Manejan bien el cambio de factorización de elementos a factorización de ideales. Los últimos capítulos abordan las aplicaciones de este material al Último Teorema de Fermat y pasan a los desarrollos más recientes que llevaron a la demostración.

Answer 4

Te recomiendo los siguientes libros:

Introducción a la Teoría de Números Algebraicos (Alaca & Williams)

Para la teoría de Galois te recomiendo el siguiente libro como introducción:

Introducción a la Correspondencia de Galois (Fenrik)

Y deberías conocer algo de teoría de números elementales y algo de historia de la teoría de números. Un buen libro para estudio propio es el siguiente:

Elementos de Teoría de Números (Textos Universitarios en Matemáticas) (Stillwell)

¡Buena suerte!

Answer 5

Creo que el libro de Takashi Ono es exactamente lo que buscas. Empieza con algo de teoría de números elemental e introduce el álgebra en el camino. Este podría ser el único libro que te enseñe qué es un grupo y también hable sobre campos cíclotomicos y cohomología de campos cuadráticos. También cubre algo de teoría analítica de números como las funciones $L$ y el teorema de Minkowski. En mi opinión, el libro de Ono debería haber sido mucho más popular, y el libro electrónico actualmente está en venta en Springer por $9.