Demostrar el rango de la matriz ${\bf B}=\left[ \left({{\bf HH}^H}\right) \left({{\bf HH}^H}\right)^+ - {\bf I} \right]$ es $\left( N-M \right)$ .

Question

¿Podemos demostrar analíticamente el rango de la matriz ${\bf B}=\left[ \left({{\bf HH}^H}\right) \left({{\bf HH}^H}\right)^+ - {\bf I} \right]$ es $\left( N-M \right)$ ?

donde la dimensión de $\bf H$ es $N \times M$ ( $N>M$ ), y las entradas de ${\bf H}$ son variables generadas aleatoriamente siguiendo la distribución gaussiana compleja. $\left( \cdot \right)^+$ es el pseudoinverso, y $\bf I$ es la matriz de identidad.

Encontré este resultado basado en ejemplos numéricos, y por lo tanto estoy pensando si esto puede ser probado analíticamente.

Algunas observaciones adicionales interesantes a través de ejemplos numéricos: todos los valores singulares de $\bf B$ son iguales a 1;

Basándome en las propiedades del rango, puedo demostrar que rank( $\bf B$ ) $\le N-M$ pero no sé cómo seguir adelante.

Se agradece cualquier sugerencia. ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Con probabilidad $1$ , $rank(H)=M$ . Utilizando la SVD, podemos escribir (cuando $rank(H)=M$ )

$H=U\Sigma V^*$ donde $U,V$ son unitarios y $\Sigma=\begin{pmatrix}diag(\sigma_1,\dots,\sigma_M)\\0_{N-M,M}\end{pmatrix}$ donde $\sigma_i>0$ es un valor singular de $H$ .

Entonces $HH^*=U\Sigma\Sigma^TU^*=Udiag(diag(\sigma_1^2,\cdots,\sigma_M^2),0_{N-M})U^*$ y, en consecuencia

$(HH^*)^+=Udiag(diag(1/\sigma_1^2,\cdots,1/\sigma_M^2),0_{N-M})U^*$ .

Finalmente $B=Udiag(I_m,0_{N-M})U^*-I_N=Udiag(0_M,-I_{N-M})U^*$ tiene rango $N-M$ según sea necesario (con probabilidad $1$ ). Además, todos los valores propios no nulos de $B$ son $-1$ (con probabilidad $1$ ).