media de una desigualdad

Question

Cuál es el resultado de $<1 + <1$ ? ; $<1 + <1 = <2$ ? o <1 + <1 = <1?

Ahora, ¿cuál es ese número dividido por 2? O bien tenemos: <2 / 2 = <1 o <1 / 2 = <0.5

Answer 1

Tengo que deducir que por " $<1$ " se refiere al set de todos los números reales menores que $1$ . Eso se escribe más comúnmente como el intervalo abierto $(-\infty,1)$ . Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces existe una operación de adición de conjuntos bien definida, definida por $$ A + B = \left\{a+b \mid a \in A,\ b\in B\right\} $$

Si $x < 1$ y $y < 1$ entonces $x+y < 2$ . Esto nos dice que $(-\infty,1) + (-\infty,1) \subseteq (-\infty,2)$ . Además, si $z < 2$ entonces $z/2 < 1$ y como $z = z/2 + z/2$ Sabemos que $(-\infty,2) \subseteq (-\infty,1) + (-\infty,1)$ . Tomando los dos juntos, tenemos $$ (-\infty,1) + (\infty,1) = (-\infty,2) $$ o " $\mathop{<}1 + \mathop{<}1 = \mathop{<}2$ " tal y como lo has escrito.

Del mismo modo, podemos definir para un conjunto $A$ y el número $\alpha$ el conjunto $$ \alpha A = \left\{\alpha a \mid a \in A\right\} $$ No es difícil demostrar que $$ \frac{1}{2}(-\infty,2) = (-\infty,1) $$

Pero para ser menos formal, y leyendo toda tu pregunta, parece que quieres saber qué suposiciones puedes hacer sobre la media de dos números si conoces sus límites. Si ambos son menores que uno, entonces sí, su media es menor que uno.

Answer 2

Voy a tomar la pregunta en el sentido de esto: Si todo lo que sabemos sobre dos números es que ambos son menores entonces $1$ Entonces, ¿qué podemos concluir sobre su suma?

En primer lugar, es menos que $2$ .

La pregunta más difícil es si podemos concluir algo más que eso. Y la respuesta es: no. La razón es la siguiente: Supongamos que $y<2$ . Entonces $y/2 < 1$ . Así que añade $y/2$ a sí mismo y obtener $y$ . En otras palabras, cualquier número que sea menor que $2$ puede ser la suma de dos números menores que $1$ .

Answer 3

Propiedad básica de las desigualdades: si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+b<c+d$ . ¿Por qué? Porque al añadir $c$ a la izquierda (LHS) y $d$ al lado derecho (RHS), el incremento en el LHS es menor que el incremento en el RHS, por lo que la desigualdad se mantiene.