Supongamos que $(\Omega,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado, con $\Omega$ infinito y contable. Si $S$ es un subconjunto infinito de $\Omega$ entonces $(S,\leq)$ denota el conjunto totalmente ordenado inducido.
¿Existen ejemplos de este tipo de $(\Omega,\leq)$ para los que no $(S,\leq)$ es de orden isomorfo a $(S',\leq)$ con $S' \subset S \ne S'$ ?
No, no hay tal $(\Omega,\leq)$ existe. Sea $(\Omega,\leq)$ sea cualquier orden lineal contablemente infinito. Entonces hay un subconjunto $S\subseteq \Omega$ tal que $(S,\leq)$ es isomorfo a $\mathbb{N}$ o $\mathbb{N}^*$ donde este último es $\mathbb{N}$ con el orden habitual invertido (véase la prueba más adelante). En el primer caso, dejemos que $S'$ sea $S$ sin el menor elemento, y en el segundo caso, que $S'$ sea $S$ sin el elemento gretest. En cualquier caso, tenemos $S'\subsetneq S$ pero $S'\cong S$ .
¿Por qué este conjunto $S$ ¿existen? Creo que la forma más fácil de demostrarlo es mediante el teorema de Ramsey. Sea $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sea una enumeración de $\Omega$ . Coloreamos un par $(a_n,a_m)$ con $n<m$ rojo si $a_n\leq a_m$ en $\Omega$ y azul si $a_m \leq a_n$ en $\Omega$ . Por el teorema de Ramsey, existe un subconjunto homogéneo infinito $H\subseteq \Omega$ . Si todos los pares son de color rojo, entonces el mapa $a_n\mapsto n$ incrustaciones $H$ en $\mathbb{N}$ y todo subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ es de orden isomorfo a $\mathbb{N}$ . Del mismo modo, si todos los pares son de color azul, entonces $H$ se incrusta en $\mathbb{N}^*$ .
Creo que tu pregunta original, antes de la edición, era:
¿Existe un orden lineal contablemente infinito $(\Omega,\leq)$ que no es isomorfo a ninguno de sus subórdenes propios?
Esta es una pregunta mucho más interesante, y la respuesta se puede encontrar aquí: https://mathoverflow.net/questions/131933/is-it-possible-to-construct-an-infinite-subset-of-bbb-r-that-is-not-order-iso
El artículo de Dushnik y Miller enlazado en la respuesta de François G. Dorais lo demuestra:
Todo orden lineal contablemente infinito es isomorfo a un suborden propio.
Existe un suborden $\Omega\subseteq \mathbb{R}$ de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ tal que $\Omega$ no es isomorfo a ningún suborden propio.
@ AlexKruckman : en efecto, ¡a mí también me seguirían interesando las respuestas a mi pregunta inicial!
Una demostración igualmente sencilla, sin utilizar el teorema de Ramsey, del hecho de que un orden lineal infinito contiene una sucesión infinita estrictamente monótona: El conjunto de elementos que tienen sólo finitamente muchos predecesores es finito (Caso 1) o infinito (Caso2). En el Caso 1 hay una sucesión infinita estrictamente decreciente, en el Caso 2 una sucesión infinita estrictamente creciente.
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Para que quede claro lo de los cuantificadores, quieres un ejemplo de conjunto totalmente ordenado, tal que para cada subconjunto infinito $S$ y cada subconjunto adecuado $S'$ , $S$ y $S'$ no son isomórficas?
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@AlexKruckman : ¡sí, efectivamente!