Cardinalidad de un conjunto de números complejos

Question

La pregunta es básicamente encontrar el número de elementos del conjunto $\{z \in \mathbb{C} : z^{60} = -1 , z^k \neq -1, 0<k<60 \}$ .

Como es bastante obvio con el tipo de pregunta, soy un novato en el estudio de sí mismo, pero la única idea que se me ocurrió fue usar simplemente $\theta = \dfrac{(2n+1)\pi}{60}$ lo que lo convierte en una rutina $n$ -a raíz del problema. Pero no estoy seguro de cómo la condición en $k$ ¿entra en esto? Una pista sería suficiente o un enlace si se trata de un duplicado (o está cerca de serlo).

Answer 1

Tomando el módulo de ambos lados: $|z|^{60} = |-1| = 1 \Rightarrow |z| = 1$ desde $|z| \geq 0$ . Así, $z = \cos \theta + i\sin \theta$ y utilizando el teorema de De Moivre: $z^{60} = \cos (60\theta) + i\sin(60\theta) = -1 \to \cos (60\theta) = -1, \sin (60\theta) = 0 \to 60\theta = (2n+1)\pi \to \theta = \dfrac{(2n+1)\pi}{60}$ . Usted quiere que esos $n$ tal que $\text{gcd}(2n+1,60) = 1$ . ¿Puedes contarlos?

Answer 2

Tienes razón en que todas las soluciones de la ecuación $z^{60} = -1$ son de la forma

$$z_n=e^{\frac{(2n + 1)\pi}{60}i}$$

Hay $60$ valores de $z$ aquí, ¡pero hay otra condición que debes cumplir! El valor $z^k$ debe no sea igual a $-1$ para cualquier otro valor $k<60$ . Si se toma $n=1$ en su caso, entonces

$z_1 = e^{\frac{3\pi}{60}i} = e^{\frac{\pi}{20}i}$ lo que significa que $z_1^{20} = e^{\pi i} = -1$ . Esto significa que $z_1$ es no ¡en su set! Es posible que haya otros candidatos que no estén en el conjunto, y esta es la parte de la pregunta que aún debe explorar.

Answer 3

Dejemos que

$$z=r\cos\theta + ir\sin\theta$$

Entonces

$$z^{60}=r^{60}\cos60\theta + ir^{60}\sin60\theta$$

¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 4

El conjunto que se encuentra es un superconjunto $\{z \in \mathbb{C}: z^{60} = -1\}$ . Hay que excluir los números que elevaron una potencia menor que $60$ es igual a $-1$ es decir $z^p = -1$ para algunos $p < 60$ . Pero tenga en cuenta que para tales $z$ tenemos $$-1 = z^{60} = (z^p)^{\frac{60}{p}} = (-1)^{\frac{60}{p}} \implies (-1)^{1-\frac{60}{p}} = 1$$ y por lo tanto $1-\frac{60}{p} \neq 0$ es par y finalmente $\frac{60}{p} \neq 1$ es impar. Esto sólo es posible cuando $p$ es un factor de $60$ . De todos los factores de $60$ , $\frac{60}{p} \neq 1$ es impar si y sólo si $p \in \{4,12,20\}$ si y sólo si $n \in \{1,2,7\}$ .

Answer 5

Es casi un típico $n$ -el problema de fondo. El conjunto de todas las raíces 60 de $-1$ es el conjunto $$\left\{\text{exp}\left(\frac{(2n+1)\pi i}{60}\right) : n = 0, 1, 2, \ldots, 59\right\} = \text{exp}\left(\left\{\frac{\pi i}{60},\frac{\pi i}{20},\frac{\pi i}{12},\frac{7\pi i}{60}, \frac{3 \pi i}{20}, \cdots \right\}\right).$$ Necesitamos encontrar el subconjunto de estos números que no son el $k$ -raíces de $-1$ para cualquier $k = 1, 2, \ldots 59$ . Pero la vigésima potencia del segundo número es $-1$ y la 12ª potencia de la tercera es $-1$ pero para cualquier potencia que pongamos exp $\left(\frac{7 \pi i}{60} \right)$ a cualquier potencia inferior a 60, no obtendremos $-1$ (¿por qué?). Esto nos limita a sólo unas pocas raíces, a saber, aquellas cuyos denominadores en el exponente no son 60.