Encuentra el número racional cuya expansión decimal es $0.3344444444\dots$

Question

Encuentra el número racional cuya expansión decimal es $0.3344444444...$

Esta es una pregunta sobre los deberes. No estoy seguro de entender el significado de la pregunta. Según el artículo de la wiki creo que lo que tengo que hacer es escribir la expansión decimal como $0 + 3\frac{1}{10}$ + $ 3\frac{1}{100}$ + $ 4\frac{1}{1000}\dots$

Por favor, dígame si esto es incorrecto.

Answer 1

Dejemos que $x = 0.33444 \ldots$ entonces $100x = 33.44444 \ldots $ para que $100x - x = 99x = 33.11 $ y $x=\frac{3311}{9900}$ .

Answer 2

Método general:

• Dejemos que $x$ denotan el número de entrada
• Dejemos que $|n|$ denotan el número de dígitos decimales en $n$
• Dividir $x$ en las siguientes partes:
  • $\color\red{A}=$ la parte entera, es decir, $\lfloor{x}\rfloor$
  • $\color\green{B}=$ el prefijo no periódico de la parte de la fracción
  • $\color\orange{C}=$ el postfijo periódico de la parte de la fracción

Entonces:

$$x=\frac{\color\red{A}\cdot(10^{|\color\green{B}|+|\color\orange{C}|}-10^{|\color\green{B}|})+\color\green{B}\cdot(10^{|\color\orange{C}|}-1)+\color\orange{C}}{10^{|\color\green{B}|+|\color\orange{C}|}-10^{|\color\green{B}|}}$$

---

Por ejemplo, si $x=0.33\overline{4}$ :

• $\color\red{A}=0$
• $\color\green{B}=33$
• $\color\orange{C}=4$

Entonces:

$$x=\frac{\color\red{0}\cdot(10^{|\color\green{33}|+|\color\orange{4}|}-10^{|\color\green{33}|})+\color\green{33}\cdot(10^{|\color\orange{4}|}-1)+\color\orange{4}}{10^{|\color\green{33}|+|\color\orange{4}|}-10^{|\color\green{33}|}}=\frac{301}{900}$$

Answer 3

Cuando se aprende sobre la representación de los números racionales en forma decimal entonces se estudian los siguientes resultados:

1. Si $p/q$ es racional cuando $p, q$ son coprimas entre sí y $q > 0$ entonces la representación decimal de $p/q$ se termina si y sólo si $q$ no tiene más factores primos que $2$ y $5$ . Si $q$ tiene un factor primo distinto de $2$ y $5$ entonces su representación decimal es no terminante pero se repite después de un cierto punto.
2. Todo decimal terminante o un decimal no terminante pero repetitivo es un número racional.

Existen reglas sencillas y bien definidas (que pueden justificarse si se está dispuesto a buscar la justificación) para obtener la representación decimal de un número racional y para expresar un decimal apropiado (terminante o no terminante pero repetitivo) en la forma $p/q$ donde $p, q$ son números enteros. Para convertir un número decimal en la forma $p/q$ tenemos las siguientes reglas:

1. Si el decimal es terminante entonces cuenta el número de dígitos después del punto decimal digamos que esta cuenta es $n$ . Ahora para $p$ se tiene el número entero obtenido al quitar el decimal y $q = 10^{n}$ es decir $q$ es $1$ seguido de $n$ ceros. Así, $0.123 = 123/1000$ .
2. Si el decimal es no terminante pero sí repetitivo, entonces el decimal tiene inicialmente un bloque de dígitos no repetitivo (que puede ser también inexistente) y lo llamamos $A$ y un bloque de dígitos que se repite y lo llamamos $B$ . Sea el número de dígitos del bloque no repetitivo $m$ y el número de dígitos del bloque repetido sea $n$ . El denominador $q$ consiste entonces en $n$ $9$ seguido de $m$ $0$ 's. El numerador $p$ se obtiene como $p = C - A$ donde $C$ es el número formado por la eliminación del decimal (incluyendo los bloques no repetitivos y los repetitivos) y $A$ es el número formado sólo por el bloque no repetitivo.

Ahora llegamos a su pregunta actual sobre el decimal $0.33444\ldots$ . Esto se escribe como $0.33\bar{4}$ para que el bloque $33$ no se repite y $4$ está repitiendo. El número formado después de quitar el decimal es $334$ y de él restamos el número formado por la parte no repetitiva, es decir $33$ y así obtener el numerador $p$ como $334-33 = 301$ . El bloque que se repite tiene un solo dígito y el bloque que no se repite tiene dos dígitos, por lo que el denominador $q$ se compone de una $9$ seguido de dos $0$ para que $q = 900$ y por lo tanto el decimal dado representa el número $p/q = 301/900$ .

Answer 4

No se equivoca al tratar de encontrar la respuesta a esta pregunta:

$$0.334444...=0+.3+.03+.004+...$$

$$=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{4}{1000}+...$$

A partir de la cual se puede continuar de esta manera:

$$=\frac{33}{100}+4\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{10^n}$$

$$=\frac{33}{100}+4\left(\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{10})^n-\frac{1}{100}-\frac{1}{10}-1 \right)$$

$$=\frac{33}{100}+4\left(\frac{1}{1-\frac{1}{10}}-\frac{1}{100}-\frac{1}{10}-1 \right)$$

$$=\frac{301}{900}$$