Encuentra el número racional cuya expansión decimal es $0.3344444444\dots$

Question

Encuentra el número racional cuya expansión decimal es $0.3344444444...$

Esta es una pregunta sobre los deberes. No estoy seguro de entender el significado de la pregunta. Según el artículo de la wiki creo que lo que tengo que hacer es escribir la expansión decimal como $0 + 3\frac{1}{10}$ + $ 3\frac{1}{100}$ + $ 4\frac{1}{1000}\dots$

Por favor, dígame si esto es incorrecto.

Answer 1

Lo que hay que hacer es encontrar dos enteros $a,b$ tal que $\frac ab=0.3344444\dots$ .

Tienes (al menos) dos formas de resolver el problema:

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Primera opción

llame al número $0.334444444444\dots$ simplemente $x$ es decir

$$x=0.3344444444\dots$$

A continuación, multiplique esta ecuación por $100$ para conseguir

$$100x=33.\overline 4$$

Multiplícalo de nuevo por $10$ para conseguir

$$1000 x = 334.\overline{4}$$

Ahora, intenta restar las ecuaciones anteriores. ¿Qué obtienes?

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Segunda opción :

Puedes escribir $x=0.33\overline 4$ como $$0.3 + 0.03 + 0.004 + 0.0004 + \dots$$

que podemos reescribir como $$x=0.33 + 0.004\cdot (1 + 0.1 + 0.01 + \dots)$$ o más allá como

$$x=\frac{33}{100} + \frac{4}{1000}\cdot \sum_{i=0}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^{i}$$

Ahora, ¿recuerdas que te enseñaron lo que es la suma de una serie geométrica?

Answer 2

SUGERENCIA:

$$0.3344444444\cdots=\dfrac{33}{100}+4\sum_{r=3}^\infty\dfrac1{10^r}$$

Answer 3

Multiplicar por $\dfrac94$ para girar el $4$ s en $9$ s, dando $$0.7524999999\cdots$$ que es igual a $$0.7525\,.$$

Su número es

$$\frac{7525}{10000}\frac{4}{9}=\frac{301}{900}.$$

Answer 4

Hay un truco, que dice así: encontrar el patrón que se repite y dividirlo con tantos nueves. Por ejemplo $$\frac{1090}{9999}=0.10901090....$$ En este caso tenemos $$0.33444...=0.33+0.0044...=\frac{33}{100}+\frac{1}{100}0.44...=\frac{33}{100}+\frac{1}{100}\frac{4}{9}=\frac{297+4}{900}=\frac{301}{900}.$$

Answer 5

Puede mover el punto decimal una posición a la izquierda multiplicando por $10$ .

$$0.3344444444\cdots\times10=3.344444444\cdots$$

Luego restando estos dos números, queda un número finito de decimales y

$$0.3344444444\cdots\times9=3.01\,.$$

Así que la fracción es

$$\frac{3.01}{9}=\frac{301}{900}.$$