Para qué valor de k tiene el siguiente sistema una solución única

Question

Así que supongo que esta pregunta establece que sabemos que tenemos una solución única sólo queremos saber qué valor de "k" permitirá esto. ¿Tendría que tomar el determinante ya que sé que hay una solución única? ¿O la respuesta que obtengo del determinante es el valor de k?

¿Para qué valor de $k$ hace el siguiente sistema de ecuaciones \begin{align*}x-3y&=6\\x+3z&=-3\\2x+ky+(3-k)z&=1\end{align*} ¿tiene una solución única?

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&0&6\\ 1&0&3&-3\\ 2&k&3-k&1 \end{array} \right] $$

También cuando tomo el determinante de esta matriz puedo ignorar los números a la derecha de la línea horizontal.

det = 1|3k| + 3|(3-k)-6|+(0)|k|

Answer 1

También puedes hacer reducción de filas:
$\begin{bmatrix}1&-3&0&6\\0&1&1&-3\\0&k+6&3-k&-11\\\end{bmatrix}$
Para tener una solución única, la tercera fila no puede ser [0 0 0], por lo tanto $k+6\not=0, 3-k\not=0$
$k\not=-6$ y $k\not=3$

Answer 2

Estás en el camino correcto.

Para que el sistema tenga una solución única, el determinante tiene que ser distinto de cero.

Simplifique su expresión y mira lo que obtienes.

Si el determinante es cero, entonces no hay ninguna solución o un número infinito de soluciones dependiendo del lado derecho.

Answer 3

Puesto que se da que hay que encontrar la k adecuada para que el problema tenga solución única se afirma que el problema ya tiene solución única. es decir, rango de la matriz = rango de la matriz aumentada = nº de incógnitas=3. es decir el rango de la matriz debe ser 3.significa que el determinante debe ser distinto de cero.el rango de la matriz aumentada debe ser 3 también y el rango de la matriz aumentada es siempre mayor o igual que el rango de la matriz.el rango de la matriz aumentada no puede ser 4. Por lo tanto, eliminar todos los valores de k que da la matriz de determinante cero.resto todos son la respuesta a su problema.