Pregunta sobre la prueba de las "variaciones generales de la funcionalidad", Gelfand y Fomin

Question

En las páginas 55-56 de Gelfand y Fomin, los autores afirman que la foto de la página 55 justifica las fórmulas de la parte superior de la 56. Llevo un rato dándole vueltas a esto, porque realmente no veo cómo la foto implica las fórmulas de la 56, o qué representan totalmente esas fórmulas. ¿Podría alguien aclarar lo que están tratando de decir aquí?

Página 54 ( https://i.stack.imgur.com/GgZIs.jpg ¡)! Página 55 ( https://i.stack.imgur.com/u473G.jpg ¡)! Página 56 ( https://i.stack.imgur.com/b8oM2.jpg )

Gracias.

Answer 1

Veamos la aproximación al punto de la izquierda $x_0$ . Nos gustaría describir la variación de $y$ de $y(x_0)$ a $y^*(x_0+\delta x_0)$ que es $$ \delta y_0=y^*(x_0+\delta x_0)-y(x_0). $$ De la figura 4 se desprende que esta variación consta de dos partes: (1) la parte vertical del paralelogramo y (2) el aumento debido a la pendiente de $y(x)$ en $x=x_0$ .

La parte (1) es simplemente $h(x_0)$ . La parte (2) se aproxima por la línea tangente como $y'(x_0)\delta x_0$ . Da el aumento total como $$ \delta y_0\sim h(x_0)+y'(x_0)\delta x_0\quad\Rightarrow\quad h(x_0)\sim\delta y_0-y'(x_0)\delta x_0. $$ Del mismo modo para el punto derecho.