¿Qué es un mapa completamente positivo *físicamente*?

Question

Estoy seguro de que esta pregunta es realmente estúpida, pero no he podido abstenerme de hacerla en este foro. Esto puede ser considerado como una continuación de este pregunta .

What does it mean to be a completely positive map, from a Physics point of view. 

Un mapa positivo $h:\mathcal{B(H)}\rightarrow\mathcal{B(K)}$ es un mapa que lleva los estados a los estados. Sin embargo, si ponemos un espacio auxiliar $\mathcal{B(A)}$ y tomar la extensión natural $1\otimes h:\mathcal{B(A)}\otimes\mathcal{B(H)}\rightarrow\mathcal{B(A)}\otimes\mathcal{B(K)}$ entonces los mapas completamente positivos son los que preservan la positividad cualquiera que sea la dimensión de $\mathcal{B(A)}$ puede ser. Así que forman lo que conocemos como canal cuántico (y todas sus relaciones con el isomorfismo de Jamiokowski, etc.). Obviamente para los mapas positivos que no son completamente positivos, cuando se extienden, no permanecerán como un objeto físico. En cierto modo, lo mismo hacen los teóricos del espacio de operadores también.

Mi pregunta es, ¿podemos dar una definición de positividad completa sin involucrar sistemas auxiliares? Después de todo los mapas positivos envían un estado a otro estado. Entonces, ¿qué proceso físico les impide ser una operación cuántica válida? Mirando hacia atrás, ¿no son todos los mapas completos físicamente imposibles de simular? (Sólo esto quizás debería escribirse como una pregunta diferente)

Answer 1

Físicamente, un mapa CP representa procesos de evolución incluso en presencia de entrelazamiento.

Después de todos los mapas positivos envía un estado a un estado

Esto es falso cuando el sistema está enredado con algo más. El ejemplo clásico es la transposición en el sistema de interés. (Técnicamente, a transponer, ya que depende de la base). Dado que la positividad se puede caracterizar mediante determinantes, la transposición preserva la positividad. Sin embargo, si sólo se transpone la mitad de un tensor de una matriz grande, esto falla. De nuevo, el ejemplo estándar es un par de qubits enredados en el $|\phi^+\rangle={1\over\sqrt{2}}\left(|00\rangle+|11\rangle\right)$ Estado de la campana. Entonces la matriz de densidad total es

$$\rho=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}$$

y cuando se transpone sobre el segundo qubit (se hace la transposición de cada una de las cuatro submatrices) pasa a

$$\rho^{T_\textrm{B}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},$$

que no es positivo ( $(0,1,-1,0)$ tiene el valor propio -1).

Esa es la matemática. La física que implica es que, si bien se puede asegurar la positividad de un mapa en un solo sistema con condiciones puramente locales, no implica que funcione como una evolución física para un sistema más grande y enredado.

Answer 2

Físicamente, un mapa completamente positivo es justo el tipo de transformación que se puede conseguir haciendo pasar un rayo en un determinado estado mixto a través de algún dispositivo (el transformador) produciendo así otro rayo en un estado mixto normalmente diferente, permitiendo efectos disipativos.

Evidentemente, dicha transformación debe mapear estados en estados y, por tanto, ser positiva. Pero bajo los supuestos estándar de una dinámica unitaria del universo como un todo, es una restricción de un mapa unitario del sistema más grande que consiste en el rayo más el transformador. Esto implica que tiene la forma dada en el teorema de Stinespring, y por tanto es completamente positivo.

A la inversa, el teorema de Stinespring dice que cada mapa completamente positivo puede realizarse como la restricción de una dinámica unitaria de este tipo, por lo que es (en principio al menos) experimentalmente realizable.

Answer 3

Los mapas completamente positivos pueden ser caracterizados sin involucrar sistemas externos por medio de la Teorema de factorización de Stinespring que se reduce al teorema de Choi para el caso de espacios de Hilbert de dimensión finita:

$ \Phi(a) = \sum_{i=1}^{mn}V_i^\dagger a V_i$ .

Se considera que los mapas completamente positivos representan las evoluciones cuánticas más generales, sin embargo, Shaji y Sudarshan:

"ftp://79.110.128.93/books/physics,%20math/%D0%96%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8B/Phys%20Letters%20A/Volume%20341,%20Issues%201-4,%20pp.%201-356%20(20%20June%202005)/Anil%20Shaji,%20E.C.G.%20Sudarshan%20-%20Who's%20afraid%20of%20not%20completely%20positive%20maps%3F.pdf"

(¿Quién tiene miedo de los mapas no completamente positivos?) dio argumentos que no agotan todas las posibilidades de evolución física.