Factorización del grupo multiplicativo módulo n

Question

Dejemos que $\mathbb{Z}/{n}\mathbb{Z}$ sea un grupo aditivo módulo n. Sé cómo demostrar que $\mathbb{Z}/{mn}\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z})$ para coprime $m, n$ .

Dejemos que $(\mathbb{Z}/{n}\mathbb{Z})^*$ sea un grupo multiplicativo módulo n. ¿Implica la afirmación anterior que $(\mathbb{Z}/{mn}\mathbb{Z})^* \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \times (\mathbb{Z}/m \mathbb{Z})^*$ ?

Para demostrar la primera afirmación podría mostrar que $ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z})$ es un grupo cíclico de orden $mn$ pero no puedo hacer lo mismo para el grupo multiplicativo. Traté de encontrar información sobre esto y me topé con el Teorema del Resto Chino. ¿Podría demostrarse sin el TCR, ya que no sé nada de él y aún no estoy preparado para estudiarlo?

Answer 1

Nota, un grupo de orden $n$ es isomorfo a $\mathbb Z /n \mathbb Z$ si y sólo si contiene un elemento de orden $n$ .

Así que, que esto sea una pista:

Para el primer enunciado, observe que tenemos $\text{gcd}(m,n)=1$ . Sea $g_n$ y $h_m$ sean generadores de $\mathbb Z /n \mathbb Z$ y $\mathbb Z /m \mathbb Z$ respectivamente. ¿Cuál es el orden de $(g_n, h_m) \in \mathbb Z /n \mathbb Z \times \mathbb Z /m \mathbb Z$ ¿entonces?