Así que estamos considerando el conjunto $[0,1] \times [0,1]$ y especialmente los subconjuntos de la forma $\{x\} \times [0,1]$ , donde $x \in [0,1]$ en la topología de orden lexicográfico.
Como su pregunta anterior ya demostró, hay una diferencia aquí cuando consideramos $[0,1] \times [0,1]$ como un subespacio de $\mathbb{R}^2$ en la topología de orden lexicográfico, y cuando restringimos el orden lexicográfico a $[0,1] \times [0,1]$ y utilizar la topología de orden de ese orden restringido como topología en $[0,1] \times [0,1]$ .
En el primer caso, cuando miramos $\{x\} \times [0,1]$ vemos que está contenido en un intervalo abierto $I = ((x,-1), (x,2))$ que es abierto en el orden lexicográfico en el plano, y así $I \cap ([0,1] \times [0,1]) = \{x\} \times [0,1])$ está abierto en $[0,1]$ . Así que los barrios de $(x,0)$ en esta topología de subespacio son esencialmente de la forma $\{x\} \times [0,r)$ y los de $(x,1)$ son de la forma $\{x\} \times (r,1]$ donde $r \in (0,1)$ .
En este último caso, en el que consideramos el orden en $[0,1] \times [0,1]$ (por lo que no hay puntos exteriores que considerar; nótese que utilizamos los intervalos abiertos con puntos finales en el exterior de $[0,1] \times [0,1]$ para demostrar que la topología del subespacio en $[0,1] \times [0,1]$ tiene $\{x\} \times [0,1]$ como un conjunto abierto) y utilizar la topología de orden directamente en ese espacio.
Así que ahora sólo tenemos que considerar los intervalos abiertos (o los intervalos semiabiertos para las vecindades del mínimo o del máximo) en los que los puntos finales están a su vez en $[0,1] \times [0,1]$ Y esto es lo que marca la diferencia. Porque si miramos $(x,1), x \neq 1$ y estamos viendo una vecindad de $(x,1)$ que no es el máximo, por lo que necesitamos algunos puntos $(p,q) < (x,1) < (r,s), (p,q),(r,x) \in [0,1] \times [0,1]$ y luego $((p,q),(r,s)) = \{(u,v) \in [0,1] \times [0,1]: (p,q) < (u,v), (u,v) < (r,s) \}$ es una vecindad básica de $(x,1)$ .
Pero, ¿qué puede $(r,s)$ ¿ser? Sabemos que $(x,1) < (r,s)$ . Así que, o bien $x = r$ y $1 < x$ y esto no puede ser, ya que no tenemos puntos con coordenadas $>1$ en el cuadrado de la unidad, o (y este debe ser el caso) $x < r$ y no tenemos información sobre la segunda coordenada. Esto es sólo la definición del orden lexicográfico.
Ahora bien, si $x < r' < r$ entonces $(r',y) \in ((p,q), (r,s))$ para cualquier $y \in [0,1]$ (compruebe la definición de la orden). Así que hemos demostrado que cualquier vecindad abierta de $(x,1), x \neq 1$ en el orden lexicográfico contiene algún punto de la forma $(r',y)$ donde $r' > r$ y así $\{x\} \times [0,1]$ no está abierto en esta topología.
Y puede mantener un argumento simétrico para puntos de la forma $(x,0), x > 0$ y puntos $(p',y)$ para algunos $p < x$ . Así que también $(x,0)$ no es un punto interior.
Los casos $(1,1)$ y $(0,0)$ son ligeramente diferentes: Como $(1,1)$ es el máximo del conjunto, sus vecindades básicas son de la forma $((p,q),(1,1)]$ , donde $(p,q) < (1,1)$ , por lo que hay $(1,1)$ es un punto interior de $\{1\} \times [0,1]$ (pero $(1,0)$ todavía no lo es) y de forma similar, $(0,0)$ es un punto interior de $\{0\} \times [0,1]$ pero aún así $(0,1)$ no lo es, por las razones expuestas.
De hecho, se puede demostrar que $[0,1] \times [0,1]$ es compacto en la topología de orden, y muy poco compacto (como la cubierta $\{x \} \times [0,1], x \in [0,1]$ muestra) en la topología del subespacio inducida a partir de la topología de orden en el plano.
