El uso de funciones de generación, uno puede ver que el $n^{th}$ Campana número, es decir, el número de todas las posibles particiones de un conjunto de $n$ elementos, es igual a $E(X^n)$ donde $X$ es una variable aleatoria de Poisson con una media de 1. Es allí una manera de explicar esta conexión de forma intuitiva?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una forma puede ser la utilización de estos hechos. Usted puede decidir si este es lo suficientemente intuitivo o no. :)
$B_n = \sum_{k=0}^n \left\{n \atop k \right\}$ donde $\left\{n \atop k \right\}$ es un número de Stirling del segundo tipo. (El número de $\left\{ n \atop k \right\}$ cuenta el número de formas de dividir un conjunto de $n$ elementos en $k$ conjuntos.)
Los números de Stirling del segundo tipo se utilizan para convertir competencias ordinarias a la caída de los poderes a través de $x^n = \sum_{k=0}^n x^{\underline{k}} \left\{n \atop k \right\}$ donde $x^{\underline n} = x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$.
El factorial momentos de Poisson$(1)$ distribución son todos los $1$; es decir, $E[X^{\underline{n}}] = 1$.
Uniendo los rendimientos
$$E[X^n] = \sum_{k=0}^n E[X^{\underline{k}}] \left\{n \atop k \right\} = \sum_{k=0}^n \left\{n \atop k \right\} = B_n.$$
Hechos 1 y 2 son bien conocidas las propiedades de la Campana y los números de Stirling. Aquí hay una rápida prueba de #3. El segundo paso es la definición de valor esperado, el uso de la función de masa de probabilidad de Poisson. El segundo-para-el último paso es la serie de Maclaurin de expansión para $e^x$ evaluado en $1$.
$$E[X^{\underline{n}}] = E[X(X-1)(X-2) \cdots (X-n+1)] = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \cdots (x-n+1) \frac{e^{-1}}{x!}$$
$$= \sum_{x=n}^{\infty} x(x-1) \cdots (x-n+1) \frac{e^{-1}}{x!} = \sum_{x=n}^{\infty} \frac{x!}{(x-n)!} \frac{e^{-1}}{x!} = \sum_{y=0}^{\infty} \frac{e^{-1}}{y!} = e/e = 1.$$
