Demuestre que si $p$ es primo entonces $\Bbb Z_p$ es un campo

Question

Comprueba mi prueba, por favor.

Dejemos que $\Bbb Z_p:=\Bbb Z/p\Bbb Z$ sea el anillo cociente módulo $p$ . Quiero demostrar que si $p$ es primo entonces $\Bbb Z_p$ es un campo.

Datos conocidos sobre los anillos de cociente del tipo $\Bbb Z_n$ (No enumero todas las características de un anillo, sólo algunas):

• Son anillos conmutativos con unidad.

• $[0]=[n]$ es la identidad de la suma o el cero. Entonces $[n]+[a]=[a]$ y $[n]\cdot[a]=[n]$ para todos $[a]\in\Bbb Z_n$ .

• $[1]$ es la identidad o unidad multiplicativa. Entonces $[1]\cdot[a]=[a]$ para todos $[a]\in\Bbb Z_n$ .

• La adición se define como $[a]+[b]=[a+b]$ y la multiplicación se define como $[a]\cdot[b]=[ab]$ .

• $[a]=[b]$ significa que existe $z\in\Bbb Z$ tal que $a=b+nz$ .

• $|\Bbb Z_p|=p$ .

Un anillo $\Bbb Z_p$ no tienen divisores cero es decir, no existe $[a],[b]\in\Bbb Z_p$ distintos de $[p]$ tal que $[a]\cdot[b]=[p]$ . Prueba por contradicción: supongamos que existe tal $[a],[b]$ distintos de $[p]$ que son divisores de cero. Entonces existen algunos $z_j\in\Bbb Z$ tal que:

$$(a+pz_1)(b+pz_2)=pz_3\iff ab+pz_4=pz_3\iff ab=pz_5$$

pero esto es una contradicción con la suposición de que $a,b\neq p$ y $p$ primo, por lo que no existen divisores de cero en cualquier $\Bbb Z_p$ . $\Box$

Para cualquier $[a]\in\Bbb Z_p$ distintos de $[p]$ existe $[b]$ tal que $[a][b]=[1]$ . Porque $\Bbb Z_p$ no tiene divisores cero y es finito para algunos $[a]\neq[p]$ tenemos que si $[b]\neq[c]$ entonces $[a][b]\neq[a][c]$ . Prueba por contradicción: si $[a][b]=[a][c]$ en las condiciones anteriores, entonces

$$[a][c]=[ac]=[ab]=[a][b]\iff ac+pz_1=ab+pz_2\iff a(c-b)=pz_3$$

para algunos $z_j\in\Bbb Z$ . Pero $pz_3\in[p]$ entonces $[a][c-b]=[p]$ pero como no hay divisores de cero en $\Bbb Z_p$ entonces o $[a]=[p]$ o $[c-b]=[p]$ lo que contradice las condiciones anteriores. $\Box$

Porque $[a][b]\neq[a][c]$ para $[a]\neq[p]$ y $[b]\neq[c]$ entonces para cualquier $[a]\neq[p]$ tenemos que

$$[a]\cdot\Bbb Z_p=\Bbb Z_p\implies \exists [b]\in\Bbb Z_p:[a][b]=[1]$$

En otras palabras: cada elemento de $\Bbb Z_p$ pero $[p]$ tienen un inverso multiplicativo como se ha dicho anteriormente. $\Box$

Porque $\Bbb Z_p$ es un anillo conmutativo con $[1]\neq[0]$ y tienen inversa multiplicativa para todos sus elementos pero $[p]=[0]$ entonces $\Bbb Z_p$ es un campo. $\Box$

Answer 1

He revisado su prueba. Buen trabajo, es correcta. Comentarios:

• En la prueba de que los inversos existen, has utilizado implícitamente el siguiente hecho: si $[c-b]=[p]$ entonces $[b] = [c]$ . Esto es fácil de demostrar, pero podrías añadir una frase explicativa.

• Algunas veces, cuando presentas $z_j$ en su razonamiento, era innecesario. Por ejemplo, si $[ab] = [ac]$ entonces $[a][b] = [a][c]$ Así que $[a]([b] - [c]) = [0]$ Así que, o bien $[a] = [0]$ o $[b] = [c]$ . No hay uso de $z_j$ necesario. De todos modos, este tipo de razonamiento suele escribirse más comúnmente utilizando la notación "mod".