Dejemos que $A, B \subset \omega^\omega$ . El juego de la guata $(A, B)$ se juega de la siguiente manera: El jugador I juega $a_0 \in \omega$ . Entonces el jugador II juega $b_0 \in \omega$ . Entonces, el jugador que elija $a_1 \in \omega$ ; después el jugador II juega $b_1 \in \omega$ . Y así sucesivamente. Al final el jugador I produce una secuencia $f = (a_0, a_1, a_2, ...)$ y el jugador II produce una secuencia $g = (b_0, b_1, b_2, ...)$ .
Decimos que el jugador II gana si $f \in A$ si y sólo si $g \in B$ . El jugador I gana en caso contrario. El juego $(A,B)$ es determinado si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora en este juego.
Supongamos que $\Lambda, \Gamma \subset \mathscr{P}(\omega^\omega)$ . $(\Gamma, \Lambda)$ La determinación del tamaño es la afirmación de que para todo $A \in \Lambda$ y $B \in \Gamma$ El juego de Wadge $(A, B)$ se determina.
Definir $\neg \Gamma = \{\omega^\omega - A : A \in \Gamma\}$ . Está claro que $(\Gamma, \Lambda)$ la determinación implica $(\neg \Gamma, \neg\Lambda)$ determinación. Una estrategia ganadora para el jugador I (respectivamente el jugador II) en $(A,B)$ es una estrategia ganadora para el jugador I (respectivamente el jugador II) en el juego $(\omega^\omega - A, \omega^\omega - B)$ .
Mi pregunta es si $(\Gamma, \Lambda)$ -implica la determinación de $(\neg \Gamma, \Lambda)$ o $(\Lambda, \neg\Gamma)$ ? Esto parece ser equivalente a si la determinación de $(\Gamma,\Lambda)$ implica la determinación de $(\Lambda, \Gamma)$ ? ¿Es necesario cerrar estas clases en determinadas operaciones para esta retención?
Los casos que más me interesan son cuando $\Lambda, \Gamma$ son clases de la Jerarquía de Borel, por ejemplo $(\Sigma_1^0, \Pi_1^0)$ es decir, (Abierto, Cerrado) y si $(\Sigma_1^0, \Pi_1^0)$ La determinación de Wadge equivale a $(\Sigma_1^0, \Sigma_1^0)$ Determinación de la guata.
Gracias por cualquier idea que alguien pueda aportar.
