Encontrar todas las funciones $v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ tal que la función compleja $ f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) $

Question

Donde $ u(x,y) = e^y\cdot\cos(x) + x $

¿Cuándo satisfacen a la CRE?

Answer 1

$\frac {\partial v}{\partial y} = \frac {\partial u}{\partial x} = -e^{y}\sin x + 1\\ \frac {\partial v}{\partial x} = -\frac {\partial u}{\partial y} = -e^{y}\cos x$

$v = \int -e^{y}\sin x + 1 \ dy = \int e^{y}\cos x\ dx\\ -e^y\sin x + y + f(x) = -e^y\sin x + g(y)\\ v = -e^y\sin x + y + C$